Планы на латинских квадратах
При составлении планов поиска оптимальных значений функции и описания поверхности отклика предполагалось, что факторы представляют собой непрерывные величины.
Однако некоторые параметры систем носят дискретный характер и принимают только относительно небольшое количество значений, например, емкость запоминающих устройств, тактовая частота системной шины персонального компьютера.
Другие факторы по своей природе имеют не количественную, а качественную природу, в частности, однотипные изделия выпускаются целым рядом изготовителей. Этим изделиям можно приписать некоторые обозначения в номинативной шкале измерений.
Таким образом, существуют параметры (характеристики), принимающие некоторое ограниченное количество значений, задаваемых в количественной или качественной шкале измерений. Необходимо в условиях воздействия других факторов оценить влияние таких параметров на показатель качества системы или определить их значимость.
Полный перебор возможных сочетаний параметров системы потребует чрезмерно большого количества опытов. С целью рационального сокращения экспериментальных исследований применяют специальных вид планов – планы на латинских квадратах.
Латинский квадрат характеризуется особым расположением некоторого числа символов в ячейках, сгруппированных в строки и столбцы так, что каждый символ встречается один раз в каждой строке и в каждом столбце. Пример латинского квадрата, размером n ´ n, для n = 3 представлен в табл. 10.1.
Таблица 10.1
| a | b | c |
| b | c | a |
| c | a | b |
Для любого n > 2 существует множество вариантов построения латинских квадратов. Количество вариантов латинских квадратов с ростом n быстро увеличивается и определяется формулой
Некоторые значения L (n) представлены в табл. 10.2.
Таблица 10.2
| n | ||||||
| L(n) |
Латинскому квадрату можно сопоставить план эксперимента, в котором строки соответствуют различным значениям одного фактора, столбцы – значениям другого, а латинские буквы – значениям третьего фактора, т.е. латинский квадрат позволяет исследовать влияние не более чем трех факторов. Пример представления латинского квадрата для факторов L, P, Z, каждый из которых варьируется на четырех уровнях (n = 4) приведен в табл. 10.3.
Таблица 10.3
| P1 | P2 | P3 | P4 | |
| L1 | Z1 | Z3 | Z4 | Z2 |
| L2 | Z2 | Z1 | Z3 | Z4 |
| L3 | Z3 | Z4 | Z2 | Z1 |
| L4 | Z4 | Z2 | Z1 | Z3 |
Применение плана, построенного на основе латинского квадрата, позволяет оценить дифференциальный (разностный) эффект пар уровней, но не дает информации о взаимодействии между факторами (иначе говоря, факторы не зависят друг от друга). Так, сумма результатов экспериментов, соответствующих столбцу j, будет оценивать эффект РJ, усредненный по всем L и Z. Тогда дифференциальный эффект увеличения значения фактора Р от уровня 1 до уровня 2, усредненный по всем L и Z, можно оценить по разности между суммой значений функции отклика столбца 2 и столбца 1. Порядок перечисления уровней факторов роли не играет.
В частности, рассмотренный план позволяет оценить влияние размера видеопамяти графического адаптера (Р) на скорость вывода видеоизображений при различном быстродействии (L) процессора компьютера и разном разрешении дисплея (Z). Применительно к рассмотренному примеру для трех факторов при четырех уровнях варьирования ПФЭ требует 43 = 64 опытов, а с применением латинского квадрата — только 16. Экономия достигается за счет потери информации о взаимодействии факторов.
В условиях применения латинского квадрата все факторы должны варьироваться на одинаковом количестве уровней. Можно ослабить это требование путем приравнивания какого-либо одного уровня другому.
Приведенный пример является одним из возможных расположений уровней факторов, позволяющих получить несмещенные оценки главных эффектов. Латинские квадраты можно накладывать друг на друга, образуя греко-латинские квадраты. Например, два латинских квадрата 3’3 можно преобразовать в греко-латинский квадрат
| a | b | c | α | b | c | aa | bb | cc | ||
| b | c | a | ´ | c | α | b | = | bc | ca | ab |
| c | a | b | b | c | α | cb | ac | ba |
Здесь латинские буквы образуют один латинский квадрат, а греческие буквы — другой латинский квадрат. Каждая латинская буква встречается в паре с конкретной греческой буквой только один раз. С помощью этого греко-латинского квадрата можно оценить главные эффекты четырех 3-х уровневых факторов (фактора строк, фактора столбцов, римских букв и греческих букв) проведя только 9 опытов.
Если наложить друг на друга три различных варианта латинских квадратов, то получится план гипер-греко-латинского квадрата. С его помощью можно оценить главные эффекты пяти факторов (фактора строк, столбцов и трех расположений квадратов). В частности, для пяти трехуровневых факторов потребуется провести только 9 опытов вместо 243 опытов при переборе всех возможных сочетаний факторов.
Итак, планы латинских (греко-латинских) квадратов используются в тех случаях, когда требуется оценить влияние факторов, варьируемых более чем на двух уровнях и заранее известно, что между факторами нет взаимодействий или этим взаимодействиями можно пренебречь. Имеются таблицы латинских и греко-латинских квадратов различных размеров, за исключением одного практически важного случая не существует греко-латинского квадрата для 6 уровней факторов.