Достаточность

Пусть условия (3.8.3), (3.8.4) выполняются. Умножим векторно слева первое равенство в системе (3.8.1)

, , . (3.8.1)

на , второе — на , третье — на орт , и сложим. Получим при умножении - го равенства на орт

.

Просуммируем данные равенства по значениям индекса от 1 до 3.

(3.8.5)

В квадратных скобках получили разложение вектора по ортогональному ортонормированному базису .

Поэтому

.

Подставляя в (3.8.5), получим , или иначе,

. (3.8.6)

Покажем, что при выполнении условий (3.8.3), (3.8.4)

, ; (3.8.3)

, , . (3.8.4)

система уравнений (3.8.1) совместна. Для этого достаточно показать, что формула (3.8.6)

. (3.8.6)

действительно задает решение данной системы.

Подставим (3.8.6) в первое уравнение системы (3.8.1)

, , . (3.8.1)

Справа получим

.

Применяя формулу двойного векторного произведения, получим

.

Учитывая условия (3.8.2)

, , , , ; (3.8.2)

а также (3.8.3) и (3.8.4)

, ; (3.8.3)

, , , (3.8.4)

окончательно можем записать

.

Установили, что правая часть первого уравнения системы (3.8.1) совпадает с левой частью этого уравнения.

Этим доказали, что вектор , задаваемый формулой (3.8.6), является решением первого уравнения системы (3.8.1) при выполнении условий (3.8.3), (3.8.4).

Аналогично устанавливается справедливость второго и третьего уравнения системы (3.8.1) для вектора , задаваемого формулой (3.8.6). Лемма 1 доказана.