Точечная оценка. Доверительные интервалы
Пусть для некоторых изделий с неизвестной функцией распределения наработки до первого отказа определяющим показателем надежности является вероятность отказа изделия Q(t) в течение времени t. В таких условиях прогнозирование вероятности отказа в течение времени, превышающего время испытаний, невозможно. Поэтому выбираем план [N, Б, t], где длительность испытаний Т равна времени эксплуатации изделия t. Устанавливая на испытания N одинаковых изделий и проверяя их работоспособность через время t, определяем число отказавших изделий т(t). Тогда точечной оценкой вероятности отказа является частота Q(t) = m(t)/N.
Согласно закону больших чисел, при увеличении N точечная оценка Q(t) сходится по вероятности к оцениваемой Q(t). Следует, однако, отметить, что при испытаниях надежности далеко не всегда удается установить большое число изделий. Кроме того, для высоконадежных изделий Q(t) обычно очень мало. В этих условиях дисперсия оценки получается неприемлемо большой и точечная оценка становится неудовлетворительной. Поэтому кроме точечной оценки используют доверительные интервалы.
Абсолютно достоверными границами для неизвестной вероятности Q(t) являются 0 и 1. Всякое сужение интервала (0, 1) связано с риском совершить ошибку, состоящую в неверном заключении о том, что Q(t) находится между новыми границами. В зависимости от того, как происходит сужение интервала (0, 1), различают двусторонний и односторонние интервалы.
Двусторонним доверительным интервалом для неизвестной и неслучайной величины вероятности Q(t) называют интервал (Qн Qв) со случайными границами, зависящими от исхода статистического эксперимента и такими, что вероятность покрытия этим интервалом неизвестного числа Q(t) не меньше заданной вероятности d, называемой доверительной вероятностью или коэффициентом доверия: P(Qн£Q£Qв)
Вероятность противоположного события, то есть того, что Q(t) окажется в интервале (0,Qн) или (Qв, 1), называется уровнем значимости Υ и равна 1-d. Уро-
вень значимости можно представитьв виде суммы вероятностей:
Υ=Υ’+Υ”=P(0<Q<Qн)+P(Qв <Q<1)
Обычно у' и у" выбирают одинаковыми, так что
у ' = у " = у / 2 = ( 1 - d) / 2.
Односторонними (верхним и нижним) доверительными интервалами называют, соответственно интервалы (0, Qв) и (Qн, 1) — такие, что
P(0<Q<Qв)³d; P(Qн <Q<1) ³d
Здесь уровень значимости у = 1 - 8 выражает вероятность того, что число Q(t) попадет в интервал (Qв ;1) при верхнем интервале и в интервал (0;Qн) при нижнем.
Доверительную вероятность нельзя выбирать слишком малой, так как снижается доверие к полученным границам и увеличивается риск сделать неверное заключение. Нельзя выбирать ее и слишком близкой к единице, так как чем ближе d к единице, тем шире границы для неизвестной вероятности. Опыт использования статистических методов показывает, что для практических целей достаточно брать d из диапазона 0,8...0,95. Иногда коэффициент доверия увеличивают до значения 0,98 или 0,99.
Правила вычисления Qн и Qв были предложены в начале 30-х годов XX в. английскими статистиками К. Клогшером и Э. Пирсоном. Поскольку испытания различных образцов одного и того же изделия происходят независимо друг от друга, число т отказавших за время t изделий распределено по биномиальному закону с параметрами N и Q, то есть вероятность отказа ровно т изделий из N определяется формулой:
Px=m=CNmQm(1-Q)N-m
Вероятность же отказа не более т изделий равна
(1)
Здесь т — вариант, а N и Q — параметры распределения. Функция является ступенчатой функцией т, изменяющейся от нуля до единицы при увеличении т от нуля до N. Если построить семейство распределений у при одном и том же N,
но различных Q и для удобства изображения сгладить ступенчатые функции непрерывными кривыми, то получим семейство зависимостей, приведенное на рис.
 |
В этом семействе параметр Q увеличивается в направлении, указанном стрелкой. Если теперь провести перпендикуляр через точку т, где т — наблюдаемое при испытаниях число отказов, и две горизонтальные прямые на уровне у' и 1 - у", а затем подобрать две кривые семейства, которые проходили бы через точки пересечения а и б, то параметры этих кривых и дают нижнюю и верхнюю доверительные границы с коэффициентом доверия 5 = 1 - у' - у". Два уравнения, составленные для точек а и б, называют уравнениями Клоппера — Пирсона, они могут быть использованы для определения доверительных границ:
Отсюда
Контрольные вопросы:
1. В чем состоит назначение испытаний на надёжность. Приведите примеры планов испытаний.
2. В чем заключается задача определительных испытаний.
3. Перечислите свойства точечных оценок показателей надёжности