Нахождении базиса, в котором матрица данного оператора диагональная
АЛГОРИТМ
1. Находим все корни характеристического уравнения оператора A n‑мерного пространства V над полем P, принадлежащие полю P.
а) если таких корней нет, то искомого базиса не существует.
б) если число таких корней n и все они попарно различны, то делаем вывод о существовании искомого базиса и для его нахождения переходим к 2;
б) в остальных случаях переходим к 2;
2. Для каждого собственного значения l по известному алгоритму находим базис соответствующего ему корневого подпространства P(l)0; ясно, что он состоит из линейно независимых собственных векторов.
3. Если из полученных на втором шаге собственных векторов можно составить систему из n линейно независимых векторов, то она будет искомым базисом; в противном случае искомого базиса не существует.
Например, в силу замечания 1 к примеру 4 для рассмотренного там линейного оператора существует базис, в котором его матрица диагональная. Обратим внимание на то, что среди характеристических корней там есть одинаковые. В случае кратных корней, как показывает нижеследующий пример, может быть и другая ситуация.
Пример 5. Оператор A задан в базисе e1, e2, e3 пространства V над числовым полем P матрицей 
. Выяснить, существует ли базис пространства V, в котором матрица оператора A будет диагональной?
□ 1. Находим все корни характеристического многочлена
.
оператора A, принадлежащие полю P. Имеем три одинаковых корня l1=l2=l3=2.
2. Для собственного значения l=2 по известному алгоритму находим базис соответствующего ему корневого подпространства P(2)0. Найдем сначала фундаментальный набор решений однородной системы
.
Он состоит из двух векторов 
. Легко понять, что b1=2e1+1e2+0e3, b2=0e1+0e2+1e3 – базис корневого пространства P(2)0. Поскольку в данном случае собственное значение только одно, рассмотрения этого шага заканчивается.
3. Из полученных на втором шаге 2-х собственных векторов нельзя составить систему из 3-х линейно независимых векторов и поэтому искомого базиса не существует. ◘
Иногда ответ на вопрос о наличии базиса, в котором матрица оператора будет диагональной, можно дать на первом шаге.
Рассмотрим соответствующий пример.
Пример 6. Оператор A задан в базисе e1, e2, e3 пространства V над полем С матрицей 
. Выяснить, существует ли базис пространства V, в котором матрица оператора A будет диагональной?
□ 1. Находим все корни характеристического многочлена
оператора A, принадлежащие полю С.Многочлен 
имеет три различных комплексных корня: l1=2, l2=1+i, l3=1–i. Следовательно, A есть оператор с простым спектром и для него существует базис, в котором его матрица будет диагональной. ◘
В заключение приведем пример, в котором будет дан отрицательный ответ на вопрос о наличии базиса, в котором матрица оператора будет диагональной, также на первом шаге.
Пример 7. Оператор A задан в базисе e1, e2 пространства V над полем R матрицей 
. Выяснить, существует ли базис пространства V, в котором матрица оператора A будет диагональной?
□ 1. Находим характеристический многочлен
оператора A.Многочлен 
не имеет действительных корней. Следовательно, для оператора A не существует базиса, в котором его матрица будет диагональной. ◘