Понятие линейного оператора и его матрицы

Конституционные (уставные) суды субъектов РФ ( самостоятельное изучение)

Схема

Установленные федеральным конституционным законом итоговые и иные решения Конституционного Суда РФ

Решения Конституционного Суда

Определение 1. Отображение векторного пространства над полем в себя называется линейным оператором пространства , если для любых и выполняются следующие условия:

Часто вместо будем писать . Из условий 1 и 2 легко следует, что

. (1)

Замечание 1.Для проверки линейности оператора A пространства V достаточно показать, что для любых векторов x₁, x₂ из V и любых скаляров a₁, a₂ из поля P имеет место:

(2)

В самом деле, если A –линейный оператор, то равенство (2) есть частный случай при k=2 равенства (1). Обратно, пусть для оператора A выполняется равенство (2). Тогда при получаем , а при имеем , т.е. A – линейный оператор.

Пример 1. В любом пространстве отображения O(x)=ô и E(x)= x определяют линейные операторы; первый из них называется нулевым, а второй – тождественным.

Пример 2. В любом пространстве отображение P_l(x) = lx при любом фиксированном l из поля P определяет линейный оператор; его называют оператором подобия.

Пример 3. Построим отображение A: Pⁿ ® P^k, заданное следующим образом . Легко проверить, что A – линейный оператор.

Пример 4. В пространстве С_[a,b] линейным оператором является оператор дифференцирования: . Этот же оператор является линейным в пространствах R[x] и R[n,x] .

Т е о р е м а 1 (о задании оператора с помощью отображения векторов базиса). Пусть – базис пространства . Для любых векторов существует единственный оператор такой, что

.

□ Пусть произвольный вектор из . Тогда . Положим

.

Так как , то при i=1,2,…,n.

Докажем теперь линейность и единственность . Пусть и –линейный оператор. Тогда

В силу произвольности выбора вектора x отсюда получаем равенство . ◘

Определение 1. Пусть

(3)

Матрица

,

столбцами которой является координаты преобразованных базисных векторов, называется матрицей линейного оператора A в базисе .

Учитывая это определение, можно сформулировать, вытекающее из теоремы 1,

Следствие 1. При заданном базисе пространства V каждому линейному оператору A однозначно соответствует его матрица в заданном базисе и обратно, каждой матрице A соответствует линейный оператор A, определенный формулами (2) и (1) в базисе . ◘

Например, 1) для нулевого оператора O имеем

и поэтому нулевому оператору O соответствует нулевая матрица

.

Аналогично, 2) для тождественного оператора E имеем

и поэтому тождественному оператору E соответствует единичная матрица

.

3) Для оператора P_l гомотетии имеем

и поэтому оператору P_l соответствует скалярная матрица

.

4) Наконец, для оператора D дифференцирования в пространстве R[3,x] и базиса 1, x, x², x³ имеем

и поэтому оператору D соответствует матрица

.