Лекция 32. Признаки обратимости операторов. Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространсчве. Теорема Хана-Банаха.
Утверждение 32.1 Если есть X, Y, Z – банаховы пространства, L(X,Y), L(Y,Z) - обратимые. Тогда оператор (X,Z) обратим и
Док-во:
явл. правым обратимым к .
– левый обратный .
Ч.т.д.
Утверждение 32.2 Пусть X, Y – банаховы пространства, L(X,Y), А – обратим; . Тогда оператор В тоже обратим.
Док-во:
и =>– обратим.
А – обратим В – обратим.
Оценки
10.
=>
20.. Ч.т.д.
Замечание: Неравенство заведомо выполн., если выполн. .
Это означ., что в L(X,Y) мн-во всех обратимых операторов явл. открытым, т.к. каждый оператор, попавший в шар В(А, ) сост. из обратимых операторов.
Замечание: Если А обратим, в L(X,Y), тогда начиная с N В(А, )=> все -обратимы =>
=> операция нахождения обратного оператора явл. непрерывной.
Утверждение 32.3 Пусть Н – гильбертово прост-во, L(Н), - ортонормир. базис прост-ва Н, сост.из собств. вект. оператора А, отвеч. соотв. собств. знач. λk, т.е. выполн. А=λk
A обратим <=> .
Док-во:
необходимость: Утв.31.2. => если А обратим, то
Пусть , тогда .. Ч.т.д.
достаточность:Ax=y
, где = <y,>
,
.
(т.к. y)
A- обратим.
. Ч.т.д.
Опр.32.4 Пусть (Х,) – нормир. прост-во, тогда L(X,K) наз. сопряж. к X прост-вом и обозн. X*.
Т 32.5 (Риса) Пусть Н - гильб. прост-во, тогда Н* изометрично Н. (Н*Н), т.е. – лин.огр. .
Док-во:
единственность:
Пусть => .
Докажем, что если , то
=> f огр. .
=> .
сушествование:
Рассм. L=Ker f(x)= - векторное подпр-во Н.
Докажем, что Lзамкн.
- предельн. т. L.
L, .