ФОРМУЛы ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Численное дифференцирование

Пептиды

Имеют в своем составе от трех до нескольких десятков аминокислотных остатков. Функционируют только в высших отделах нервной системы.

Эти пептиды, как и катехоламины, выполняют функцию не только нейромедиаторов, но и гормонов. Передают информацию от клетки к клетке по системе циркуляции. Сюда относятся:

а) Нейрогипофизарные гормоны (вазопрессин, либерины, статины). Эти вещества одновременно и гормоны и медиаторы.

б) Гастроинтестинальные пептиды (гастрин, холецистокинин). Гастрин вызывает чувство голода, холецистокинин вызывает чувство насыщения, а также стимулирует сокращение желчного пузыря и функцию поджелудочной железы.

в) Опиатоподобные пептиды (или пептиды обезболивания). Образуются путем реакций ограниченного протеолиза белка-предшественника проопиокортина. Взаимодействуют с теми же рецепторами, что и опиаты (например, морфин), тем самым имитируют их действие. Общее название - эндорфины - вызывают обезболивание. Они легко разрушаются протеиназами, поэтому их фармакологический эффект незначителен.

г) Пептиды сна. Их молекулярная природа не установлена. Известно лишь, что их введение животным вызывает сон.

д) Пептиды памяти (скотофобин). Накапливается в мозге крыс при тренировке на избегание темноты.

е) Пептиды - компоненты РААС-системы. Показано, что введение ангиотензина-II в центр жажды головного мозга вызывает появление этого ощущения и стимулирует секрецию антидиуретического гормона.

Образование пептидов происходит в результате реакций ограниченного протеолиза, разрушаются также под действием протеиназ.

Лекция №9-10

Численное дифференцирование, т. е. нахождение значений производных заданной функции у = f(x) в заданных точках x, в отличие от, например, численного интегрирования, можно считать не столь актуальной задачей в связи с отсутствием принципиальных трудностей с аналитическим нахождением производных. Однако имеется ряд моментов, не позволяющих обходить эту задачу стороной. Это и типичное для прикладных задач незнание аналитического вида f(x), и возможное сильное усложнение функции при ее аналитическом дифференцировании (что затрудняет нахождение ее значений с высокой точностью), и желательность получения значений производных с помощью однотипных вычислительных процессов без привлечения аналитических выкладок. Главным же для дальнейшего является потребность в простых формулах, с помощью которых производные в заданных точках можно аппроксимировать несколькими значениями функции (быть может неизвестной) в этих и близких к ним точках.

Источником формул численного дифференцирования, как и большинства квадратурных формул, является полиномиальная интерполяция.

Зная в точках x_i = x₀ + ih (i = 0, 1, …, n) при некотором h > 0 значения у_i = f(x_i) данной функции y = f(x), можно найти конечные разности Δ^ky_i и записать для нее, например, первый интерполяционный многочлен Ньютона P_n(x).

Дифференцируя приближенное равенство f(x) » P_n(x), будем строить формулы приближенного дифференцирования разной точности в зависимости от степени n используемого интерполяционного многочлена. Через вспомогательную переменную приближенное представление функции f(x) по первой формуле Ньютона выглядит наиболее просто:

. (1)

Отсюда получаем конечноразностную формулу численного дифференцирования

, т. е.

. (2)

При использовании последнего равенства для приближенного вычисления производной функции f(x) в заданной точке x из некоторой окрестности точки x₀ следует найти соответствующее значение переменной и подставить его в формулу (2). Максимальный порядок конечных разностей в этой формуле при желании получить производную с наибольшей точностью определяется в конкретной ситуации в соответствии с приведенными ранее соображениями о выборе подходящей степени интерполяционного многочлена.

Аналогично можно вывести ряд других формул численного дифференцирования на основе различных интерполяционных формул, более эффективно «работающих» вблизи других узловых точек и в общем случае не обязательно равноотстоящих. Вернемся к приближенной формуле (2). Рассмотрим несколько ее частных случаев, фиксируя степень n лежащего в ее основе интерполяционного многочлена (1), равной 1, 2, 3. Этим значениям n отвечают соответственно одно, два, три первых слагаемых в формуле (2). Таким образом, имеем:

на основе линейной интерполяции

для x Î (x₀ – d; x₁ + d), (3)

на основе квадратичной интерполяции

для x Î (x₀ – d; x₂ + d), (4)

на основе кубической интерполяции

(5)

для x Î (x₀ – d; x₃ + d),

и т. д. (при некоторых δ > 0, определяющих промежуток экстраполяции приемлемого качества соответствующей интерполяционной формулой).

Для дальнейшего особый интерес представляют частные случаи формул (3)-(5), связывающие приближенное значение производной функции f(x) в узлах x₀, x₁, … с узловыми значениями самой функции. Учитывая, что точкам x₀, x₁, x₂, x₃ соответствуют значения q = 0, 1, 2, 3, и раскрывая конечные разности через значения y_i (i = 0, 1, 2, 3), имеем:

при n = 1 из (3)

, (6)

, (7)

при n = 2 из (4)

, (8)

, (9)

, (10)

при n = 3 из (5)

,

,

,

.

В случае необходимости этот ряд формул можно продолжить с помощью общей формулы (2) или посмотреть в других источниках.

Повторное дифференцирование приближенного равенства (1), т. е. взятие производной по x от правой части формулы (2) с учетом , приводит к конечноразностной формуле вычисления второй производной

(11)

из которой таким же образом следует приближенная формула для третьей производной

,

и т. д.

Наиболее важной в приложениях является простейшая аппроксимация второй производной с помощью постоянной на промежутке (x₀ – δ, x₂+d), получающаяся из (11) фиксированием только одного слагаемого (случай n = 2). В частности, в точке x₁ имеем приближенное равенство

, (12)

которое вместе с формулами (6)-(10) широко используется при построении конечноразностных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и для уравнений в частных производных.