Площадь треугольника
Деление отрезка в данном отношении
Расстояние между двумя точками
Система координат на плоскости. Метод координат.
Лекция №9. Система координат на плоскости. Метод координат. Прямая на плоскости.
Аналитическая геометрия
Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки на плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат.
Прямоугольная система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный отрезок. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения О – началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью ), другую – осью ординат (осью ).
Координатами точки М в системе координат называются координаты радиус – вектора . Если , то координаты точки М записываются .
Эти два числа x и y полностью определяют положение точки на плоскости, а именно: каждой паре чисел x и y соответствует единственная точка М плоскости.
Способ определения положения точек с помощью чисел (координат) называется методом координат. Сущность метода координат на плоскости заключается в том, что всякой линии на ней, как правило, сопоставляется уравнение. Свойства этой линии изучаются путем исследования уравнения линии.
Основные приложения метода координат на плоскости
Расстояние d между двумя точками числовой оси и равно абсолютной величине разности координат этих точек: .
Расстояние d между двумя данными точками плоскости и равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек: .
Расстояние d между точками и в пространстве: .
Координаты точки , делящей отрезок с концами и в отношении λ, определяются соотношениями , .
Назовем отношением, в котором точка С делит направленный отрезок , число .
Каждому значению λ соответствует некоторая точка прямой АВ. Исключение представляет значение , при котором формулы теряют смысл.
Если , то точка делит отрезок пополам, и тогда координаты середины отрезка определяются соотношениями: ,
Замечание.
Если λ положительно, то точка лежит между точками А и В.
Если λ отрицательно, то точка С лежит на прямой вне отрезка .
Координаты точки , делящей отрезок с концами и в отношении λ, определяются соотношениями: , , .
Пусть даны вершины треугольника , , . Площадь треугольника вычисляется по формуле:
Замечание.
В формуле нужно взять знак , смотря по тому, будет ли определитель положительным или отрицательным.
Прямая на плоскости
Определение: уравнением линии (или кривой) на плоскости называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на линии.
Всякое уравнение первой степени относительно текущих координат x и y определяет прямую линию.
Для того чтобы установить лежит ли точка на данной линии, достаточно проверить удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбранной системе координат.