Нормальные подгруппы

Определение 3.4.1. Пусть H – подгруппа группы G и . Обозначим aH множество элементов {a·h | h Î H} и назовем его левым смежным классом группы G по подгруппе H. Элемент a называется представителем левого смежного класса aH.

Если существует , b Ï H È aH, то можно построить левый смежный класс bH и т.д.

Аналогично строятся правые смежные классы Ha = {h·a | h Î H} с представителями .

Теорема 3.4.1. Пусть H – подгруппа группы G. Тогда

1) каждый элемент принадлежит какому-нибудь левому (правому) смежному классу по подгруппе H;

2) два элемента принадлежат одному левому (правому) смежному классу тогда и только тогда, когда a^–1·b Î H (b·a^–1 Î H);

3) любые два левых (правых) смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают;

4) G есть объединение попарно непересекающихся левых (правых) смежных классов по подгруппе H.

1) Для "g = g·e, так как e Î H, то g Î {g·h | h Î H} = gH. Аналогично g = e·g Þ g Î {h·g | h Î H} = Hg.

2) a Î aH, b Î bH. a и b принадлежат одному и тому же левому смежному классу Û $ h Î H такой, что b = a·h, Û a^–1·b = h Û a^–1·b Î H.

a Î Ha, b Î Hb. a и b принадлежат одному и тому же правому смежному классу Û $ h Î H такой, что b = h·a, Û b·a^–1 = h Û b·a^–1 Î H.

3) Пусть c Î aH Ç bH Û для некоторых h₁, h₂ Î H c = a·h₁ = b·h₂ Û b^–1·a = h₂·h₁^–1 Î H Û a, b принадлежат одному и тому же левому смежному классу согласно утверждению 2, то есть aH = bH.

Пусть c Î Ha Ç Hb Û c = h₁·a = h₂·b Û a·b^–1 = h₁^–1·h₂ Î H Û Ha = Hb.

Либо aH Ç bH = Æ (Ha Ç Hb = Æ).

4) Следует из утверждений 1 и 3.

Определение 3.4.2. Мощность множества всех различных левых (правых) смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается G : H.

К важнейшим в теории групп относится следующая теорема, доказанная известным французским математиком и механиком Жозефом Лагранжем (1736–1813).

Теорема 3.4.2 (Ж. Лагранж). Порядок конечной группы равен произведению порядка и индекса любой ее подгруппы.

Пусть H £ G, | G | = n, | H | = k, n, k Î N, и H = {e = h₁, h₂,…, h_k}.

Для " a Î G aH = {a, a·h₂,…, a·h_k}, Ha = {a, h₂·a,…, h_k·a}. Покажем, что | H | = | aH | = | Ha |. Действительно, a·h_i = a·h_j Û a^–1·(a·h_i) = a^–1·(a·h_j) Û h_i = h_j, аналогично h_i·a = h_j·a Û h_i = h_j для всех . В общем случае, даже для бесконечной подгруппы H, H « aH « Ha.

Согласно утверждению 4 теоремы 3.4.1 G есть объединение попарно непересекающихся левых (правых) смежных классов по подгруппе H. Таким образом, (объединение всех различных смежных классов) Þ | G | = | H | × (G : H) и G : H = n/k.

Следствие 1. Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы.

Следствие 2. Если G – конечная группа порядка n, то порядок любого элемента группы делит порядок группы и для каждого .

Пусть | G | = n. Рассмотрим < a > для " a Î G, очевидно, что ord(a) £ n. | < a > | = ord(a) согласно теореме 3.3.3. < a > £ G, значит, по следствию 1 из теоремы 3.4.2 ord(a) | n. Отсюда следует, что , где .

Следствие 3. Любая группа простого порядка является циклической и не содержит собственных подгрупп.

Пусть порядок группы G | G | = p – простое число. Рассмотрим " a Î G\{e}. Согласно следствию 1 из теоремы 3.4.2 | < a > | | p, откуда | < a > | = 1 или | < a > | = p. Но в первом случае < a > = < e > и a = e, что не так. Поэтому | < a > | = p, значит, G = < a >.

По следствию 1 из теоремы 3.4.2 порядок любой подгруппы H в G равен 1 или p, то есть H = {e} или H = G.

Так как для произвольной группы (G, ·) и " a Î G, следуя доказательству теоремы 3.4.2, G « aG « Ga, то aG = G = Ga и G : G = 1.

Пример 3.4.1. Рассмотрим (nZ, +) £ (Z, +) для " n Î N и найдем все смежные классы Z по nZ. Поскольку (Z, +) – абелева группа, то для одинаковых представителей левые смежные классы совпадают с соответствующими правыми. Таким образом, для " z Î Z z = nq + r, где q, r Î Z, 0 £ r < n, согласно теореме 1.1.1, и z + nZ = nZ + z = {nm + r | m Î Z} = в Z/nZ. В частности nZ = в Z/nZ. Итак, = Z/nZ – множество всех различных левых (правых) смежных классов группы (Z, +) по подгруппе (nZ, +). Значит, Z : nZ = n.

Здесь (Z, +) – бесконечная группа, (nZ, +) – ее бесконечная подгруппа, а индекс Z : nZ конечен.·

Пример 3.4.2. (V₄(Z/2Z), +) – аддитивная группа всех строк-векторов с четырьмя координатами из Z/2Z. Рассмотрим следующее подмножество в V₄(Z/2Z): . Легко проверить, что H < V₄(Z/2Z). | V₄(Z/2Z) | = 2⁴ = 16, | H | = 4, значит, V₄(Z/2Z) : H = 16 : 4 = 4. Для одинаковых представителей левые смежные классы совпадают с правыми, поскольку (V₄(Z/2Z), +) – абелева группа.

Выпишем таблицу 3.4.1 смежных классов группы (V₄(Z/2Z), +) по подгруппе (H, +).

Таблица 3.4.1

№	класс a + H	a + 0	a + e1	a + e2	a + e3
1.	0 + H = H
2.	+ H
3.	+ H
4.	+ H

·

Определение 3.4.3. Подгруппа H группы G называется нормальной, если для всякого , то есть каждый левый смежный класс по подгруппе H совпадает с правым смежным классом с тем же представителем. В этом случае используется обозначение: HG.

Ясно, что у абелевых групп все подгруппы нормальны.

В любой группе (G, ·) тривиальные подгруппы {e} и G являются нормальными, так как для " a Î G a{e} = {a} = {e}a и aG = G = Ga. Итак, {e}G и GG.

Пример 3.4.3. Если G : H = 2, то HG для произвольной группы (G, ·). Поскольку для " g Î G\H H Ç gH = H Ç Hg = Æ и G = H È gH = H È Hg согласно утверждениям 3 и 4 теоремы 3.4.1, Þ gH = Hg и, таким образом, aH = Ha для " a Î G.·

Теорема 3.4.3 (критерий нормальной подгруппы). HG тогда и только тогда, когда для каждого (для " a Î G, " h Î H a·h·a^–1 Î H).

Необходимость. Пусть HG, тогда для . Значит, для " h Î H $ h₁ Î H такой, что a·h = h₁·a, Û a·h·a^–1 = h₁ Î H. Таким образом, для " a Î G aHa^–1 = {a·h·a^–1 | h Î H} Í H. Поскольку для всех h_i, h_j Î H справедливо a·h_i·a^–1 = a·h_j·a^–1 Û a^–1·(a·h_i·a^–1)·a = a^–1·(a·h_j·a^–1)·a Û h_i = h_j, то | aHa^–1 | = | H | и aHa^–1 = H.

Достаточность. Пусть для " a Î G, " h Î H a·h·a^–1 Î H (aHa^–1 = H). Докажем, что aH Í Ha и Ha Í aH. Для " b Î aH $ h₁ Î H такой, что b = a·h₁, Û b·a^–1 = a·h₁·a^–1 Î H Þ $ h₂ Î H такой, что b = h₂·a Î Ha. Значит, aH Í Ha. Для " c Î Ha $ h₃ Î H такой, что c = h₃·a, Û a^–1·c = a^–1·h₃·a Î H Þ $ h₄ Î H такой, что c = a·h₄ Î aH. Значит, Ha Í aH. Итак, aH Í Ha и Ha Í aH, следовательно, aH = Ha для " a Î G и HG.