Основные методы решения уравнений
1. Линейное уравнение.Линейным уравнением с одной переменной x называется уравнение вида аx + b = 0, где а, b – действительные числа. Это уравнение равносильно уравнению аx = – b.
Для линейного уравнения аx = – b возможны 3 случая:
1) а ≠ 0, уравнение имеет единственный корень х = – ;
2) а = 0, b = 0, в этом случае уравнение принимает вид 0 ∙ х = 0, х – любое число, т.е. уравнение имеет бесчисленное множество корней;
3) а = 0, b ≠ 0, получаем уравнение 0 ∙ х = – b, оно корней не имеет.
Пример. х + = 0
По следствию из теоремы 1 оно равносильно уравнению х = – . Разделив обе части этого уравнения на , получим х = – .
2. Квадратное уравнение. Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где а, b, с ÎR, а ≠ 0 называют квадратным уравнением.
Корни уравнения находят по формуле .
Выражение b2 – 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения.
Если , то уравнение имеет 2 различных действительных корня;
если D , уравнение не имеет действительных корней;
если D , то уравнение имеет 2 равных действительных корня.
3. Неполное квадратное уравнение. Если в квадратном уравнении ах2 + bх + с = 0 b = 0 или
с = 0, то квадратное уравнение называют неполным. Для нахождения корней такого уравнения можно воспользоваться методом разложения на множители.
Пример 1. 2х2 – 5х = 0
х(2х – 5) = 0
х = 0 или 2х – 5 = 0
х =
Ответ:;
Пример 2. 2х2– 8 = 0
х2 – 4 = 0
(х – 2)(х + 2) = 0
х = 2, х = –2
Ответ: {2; –2}
4. Теорема Виета. Если приведенное квадратное уравнение х2 + pх + q = 0 имеет действительные корни, то их сумма равна –p, а произведение равно q, т.е.
х1+ х2 = –p
х1 ∙ х2 = q
Пример. х2 – 9х + 14 = 0
х1+ х2 = 9
х1 ∙ х2 = 14
Такими числами являются числа 2 и 7
Ответ: {2; 7}
5. Уравнение с переменной в знаменателе.
= 0
Решение уравнения такого вида основана на следующем утверждении: 0, тогда только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Уравнение такого вида равносильна системе:
Пример. =0 Û 3х – 6 = 0,
х2 – х –2 0
Решая первое уравнение, получаем, что х = 2. При этом значении знаменатель х2 – х –2 обращается в нуль, следовательно, данное уравнение корней не имеет.
6. Уравнение f(x) = g(x) называется рациональным, если f(x) и g(x) рациональные выражения. Уравнение вида равносильно системе
Пример.
Решим уравнение . x1=2; x1=4.
Проверим, не обращают ли найденные значения переменной х знаменатель в нуль.
(2 – 2) ∙2 ∙ 2 ¹ 0 – ложь, (2 – 4) ∙2 ∙ 4 ¹ 0 – истина.
Ответ:
7. Решение уравнения )=0. Методом разложения левой части на множители.
Пусть надо решить уравнение ) = 0, где ) многочлен степени n. Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители: р(х) = р1(х) ∙ р2(х) ∙ … ∙ рп(х).
Тогда уравнение примет вид р1(х) ∙ р2(х) ∙ … ∙ рп(х) = 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, следовательно данное уравнение выглядит равносильно совокупности р1(х) = 0 Ú р2(х) = 0 Ú … Ú рп(х) = 0.
Пример.
x3 + 2x2 + 3x + 6 = 0
(x3+3x) + (2x2 + 6) = 0
х(x2 + 3) + 2(x2 + 3) = 0
(х+2) ∙ (x2 + 3) = 0
х + 2 = 0,
x2 + 3 = 0. Из первого уравнения находим, что х = –2, второе уравнение корней не имеет.
Ответ:
8. Решение уравнений методом введения новой переменной.
Суть этого метода покажем на примере.
Пример. (х2 – 3х)2 + 3(х2 –3х) –28 = 0
Положим, что х2 – 3х = у, тогда получим уравнение у2 + 3у – 28 = 0, откуда у1= –7, у2 = 4.
Задача сводится к решению двух уравнений х2 – 3х = – 7 и х2 – 3х = 4.
У первого уравнения дискриминант меньше нуля, поэтому оно корней не имеет; корни второго уравнения 4 и – 1.
Ответ: {4; – 1}.
9. Биквадратное уравнение.
Биквадратным называется уравнение вида ах4 + bх2 + с = 0, где а .
Решается такое уравнение методом введения новой переменой х2 = у.
Пример.
х4 + 4х2 – 21 = 0
Введем новую переменную х2 = у. Получим уравнение у2 + 4у – 21 = 0
у1 = –7, у2 = 3.
Вернемся к переменной х.
Получим х2 = –7 (уравнение корней не имеет), х2 = 3 (х1 = , х2 = ,
Ответ: { }
10. Графическое решение уравнений.
Строит график функции у = f(x) и находят точки пересечения графика с осью абсцисс. Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения.