Теорема Безу

Тема: Розклад раціональних функцій на найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування.

Лекція №2

План лекції:

1. Теорема Безу.

2. Основна теорема алгебри, розклад многочлена на множники.

3. Многочлени з дійсними коефіцієнтами.

4. Раціональні дроби. Розклад правильного раціонального дробу у суму елементарних дробів.

5. Інтегрування елементарних раціональних дробів.

Визначення. Многочленом (поліномом або раціональною функцією) називається функція

(1)

де натуральне число називається степенем многочлена, дійсні або комплексні числа називаються коефіцієнтами многочлена. Незалежна змінна також може бути як дійсною, так і комплексною.

Ми будемо розглядати лише многочлени з дійсними коефіцієнтами .

Визначення. Значенням многочлена при =називається число

,

отримане заміною в виразі (1) змінної числом і подальшим виконанням всіх вказаних операцій.

Визначення. Коренем многочлена називається таке число =(дійсне або комплексне), при якому значення многочлена дорівнює нулю, тобто .

Якщо будемо ділити многочлен на довільний многочлен першого степеня, то остача буде або деяким многочленом нульового степеня, або нулем, тобто в будь-якому випадку деяким числом . Наступна теорема дозволяє знайти цю остачу, не виконуючи самого ділення, у випадку, коли ділення відбувається на двочлен .

Теорема (теорема Безу). (Етьєн Безу (1730-1783) – французський математик, член Паризької АН). Остача від ділення многочлена на двочлен дорівнює значенню многочлена при =:

.

Доведення. Дійсно, нехай

.

Беручи значення обох частин цієї рівності при =, будемо мати:

,

що й доводить теорему. à

Наслідок. Число буде коренем многочлена тоді і тільки тоді, коли ділиться на .

З іншого боку, якщо многочлен ділиться на деякий многочлен першого степеня , то він, очевидно, ділиться і на двочлен . Тобто на многочлен виду . Таким чином, задача розшуку коренів многочлена рівносильна задачі розшуку його дільників-двочленів.