Лічбою елементів множини А називається встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною А та відрізком натурального ряду N.

Відрізком натурального ряду Nа називається множина натуральних чисел, що не перевищують натурального числа а.

Н., відрізок N4 є множина натуральних чисел 1, 2, 3, 4.

Із визначення випливає, що відрізок Nа натурального ряду складається із всіх таких натуральних чисел х, що х≤а. Крім того, будь-який відрізок Nа при а>1 містить 1.

Введене визначення відрізка натурального ряду дозволяє уточнити поняття рахунку елементів множини. Відмітимо, під час лічби кожному елементи множини А={k, l, m, r} буде відповідати одне єдине число із відрізка N4.Тобто встановлена взаємо однозначна відповідність між множиною А і відрізком N4 натурального ряду.

Число а називається числом елементів у множині А і пишеться n (А)=а.Це число єдине і є кількісним натуральним числом.

Аналіз рахунку показує – для того, щоб рахувати, необхідно раніше мати достатній запас чисел, причому числа повинні володіти рядом властивостей: знаходитися у визначеному порядку, повинно існувати перше число і т.д.

Натуральні числа використовують не тільки для лічби предметів, але й для характеристики порядку предметів: перший (будинок), п’ятий (учень), десятий (місяць).

V. Множина цілих невід’ємних чисел, теоретико-множинний зміст відношень «дорівнює», «менше» на цій множині.

З’ясуємо на якій теоретичній основі проходить порівняння чисел.

Нехай дано два цілі невід’ємні числа а і в. З теорети­ко-множинної точки зору вони представляють число елементів скінчених множин А і В: а=n(А), в=n(В). Якщо ці множини рівнопотужні, то їм відповідає одне і те ж число, тобто а=в.

Числа а і в рівні, якщо вони визначаються рівно потужними множинами:

 
 
а=в<=>А~В, де n(А)=а, n(В)=в

 


Якщо множини А і В не рівнопотужні, то числа, які визначаються ними – різні.

Якщо множина А рівнопотужна своїй підмножині множини В та n(А)=а, n(В)=в, говорять, що число а менше числа в, та пишуть а<в .В цій же ситуації говорять, що в більше а, та пишуть: в>а

 
 
а<в<=>А~В1, де В1 В та В1≠В, В1≠Ø


Із наведених визначеннях відношень «дорівнює» та «менше» виходять в початковій школі, коли пояснюють, що 2=2, 3=3, 2<3, 3<4 і т.д.

Н., при введенні запису 3=3 розглядають дві рівнопотужні множини квадратів та кругів.

           
     
 
     

 

 


 

При вивченні відношення 3<4 проводяться роздуми: візьмемо три рожевих кружечки та 4 синіх і кожний рожевий покладемо на синій, що синій кружечок залишився незакритим, тобто, рожевих кружечків менше, чим синіх, тому можна записати 3<4.

Відмітимо, ще, що якщо числа а і в визначаються відповідно множинами А та В (кругів, квадратів, паличок тощо)та а<в, то виділення в множині В особистої підмножини, рівнопотужна множині А, на практиці виникає самими різноманітними способами: накладанням, приложеням, шляхом утворення пар і т.д. Це можливо, так як відношення а<в.

Цей підхід для визначення відношення «менше» має обмежене застосування, він може бути використаний для порівняння чисел в межах 20, оскільки пов'язаний з непосредственим порівнянням двох груп предметів.

Число а менше числа в тільки тоді, коли існує таке натуральне число с, що а+с=в

Користуючись цим визначенням можна пояснити, що 3<7. 3<7 – оскільки існує таке число 4, що 3+4=7.

Цей спосіб визначення відношення «менше» через додавання також використовується в початкових класах. Про це говорить наявність записів 5+1=6, 6>5, 7+1=8, 8>7.

Число а менше числа в тоді, коли відрізок натурального ряду Nа являється власною підмножиною відрізка цього ряду Nв.

 
 
а < в <=> NаNв та Nа ≠ Nв  

 

 


Н., справедливість нерівності 3<7 із цих позицій можна пояснити тим, що {1,2,3} {1,2,3,4,5,6,7}.

Дана трактовка поняття «менше» дозволяє порівняти числа, спираючись на знання їх місця в натуральному ряді.

Цей спосіб порівняння чисел також використовується в початкових класах: число, яке при рахунку зустрічається раніше, завжди менше числа, яке іде пізніше.

 

3. Заключна частина:

Загальний висновок.

Відповіді на запитання студентів.

Д/з.: Кухар В.М., Білий Б.М. Теоретичні основи початкового курсу математики, С. 164 -169 (конспект).

Стойлова Л.П., Пишкало А.М. Основы начального курса математики, Р. 2, п. 45 - 47, С. 123 – 127, впр.1, 2 (С. 126).