Нагрев цилиндра.

Уравнение теплопроводности имеет вид

где W, Вт/м³— объемная плотность источников тепла, распределенных в активном слое .

Объемную плотность источников тепла выразим через удельную мощность:

где—относительная глубина активного слоя.

Решением уравнения (2) будет

где R₂—радиус цилиндра, м, —относительная ко­ордината; — критерий Фурье;

Время нагрева и удельная мощность определяются по формулам

(11)

(12)

где - значение функции S при x= 0 ();— значение функции S при x= x_k,

При

Термический к.п.д.

Если , то и

21.3 Приближенное определение времени нагрева и удельной мощности

при сквозном индукционном нагреве цилиндрических заготовок

21.3.1 Расчет по средней удельной мощности.

Применительно к нагревателям периодического действия, работающим при U_и = const, и нагревателям непрерывного действия с постоянным шагом витков используем расчет при постоянной удельной мощности, выбрав ее по среднему значению за время нагрева.

Так как длительность сквозного нагрева значительно больше, чем поверхностного, то обычно . Поэтому расчет можно производить по упрощенным формулам. Время нагрева можно вычислить по нижеприведенной формуле. Для расчета задаются температура поверхности Т_п и температура на оси T_ц. Тогда можно написать

Отсюда имеем, заменяя в выражении для радиус R на диаметр D:

(13)

Нагрев стальных заготовок под ковку и штамповку производится обычно до температуры 1200—1300°С. Принимаем в качестве средних значения тепловых коэффициентов при 800 °С. Тогда имеем: с = 6,68*10² Дж/(кг-К); =33,5 Вт/(м.К); а = 6,4. 10^-6 м²/с.

В практике допускают перепад температуры между поверхностью и осью заготовки =100—150К. За промежуток времени между концом нагрева и началом пластической обработки температура выравнивается в достаточной степени вследствие теплоотдачи во внешнюю среду и теплопроводности. Если считать То = 1300 °С, то температура на оси Гц при = 100К равна 1200 °С, а при = 150К равна 1150°С.

Однако при расчете необходимо учесть два обстоятельства, не рассмотренные при выводе формулы ( ).

1. Из-за большого времени нагрева удельная мощность мала и составляет 0,2—0,05 кВт/см². Поэтому существенное влияние на характер распределения температуры по сечению оказывает рассеяние тепла в окружающее пространство. Наличие тепловых потерь приводит к уменьшению перепада температуры в пределах активного слоя по сравнению с расчетным, а следовательно, сокращает время нагрева.

2. Удельная мощность в начале нагрева, когда заготовка ферромагнитна, больше, чем в конце, что также сокращает время нагрева.

Ниже приводится упрощенный, но пригодный для практики способ расчета. Опыт показывает, что для получения правильного результата следует в формулу

( ) подставить удвоенное значение температурного перепада.

Рассмотрим два характерных случая, упоминавшихся выше.

1. Перепад температуры = 100К; = 1300 °С; =1200°С. Принимаем для расчета =200К. Тогда =1100°С, а (–расчетная температура на оси заготовки). Подставив в формулу () значение и приведенные выше тепловые коэффициенты, получим

(14)

2. Перепад температуры = 150К; =1300°С; =1150°С. Для расчета принимаем =1000°С. Тогда и время нагрева

(15)

где находятся из табл. П-3.

Удельная; полезная мощность определяется по формуле (12).

Полная полезная мощность

где а – длина заготовки, м.

В расчетные формулы входит относительная глубина активного слоя, которая, как и прежде, вычисляется для конца нагрева. Как было показано, глубина активного слоя для цилиндра при . При величина . Таким образом» имеем

Поэтому в табл. П-3 значения даны лишь для . Примерно с той же точностью можно определить время нагрева, положив и , если вместо диаметра цилиндра D а подставить в формулы (14) и (15) расчетный диаметр

Тогда и .Формулы (14) и (15) примут вид

при =100 K (16)

при =150 К (17)

Зная время нагрева, можно определить среднюю полезную мощность и через теплосодержание заготовки, т.е. :

(18)

где G — масса заготовки, кг; с = 6,68-10² Дж/(кг- К) — средняя удельная теплоемкость стали; — средняя по сечению температура заготовки; t_k — время нагрева, с;— средняя полезная мощность, Вт.