Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида
где некоторые действительные (или комплексные) числа, называемые коэффициентами ряда, - действительная переменная.

Придавая переменной определённое числовое значение мы получим числовой ряд который поможет быть сходящимся или расходящимся.Точка называется точкой сходимости ряда в первом случае и точкой расходимости - во втором. Совокупность всех числовых значений , при которых степенной ряд сходится, называется его областью сходимости. Область сходимости степенного ряда содержит всегда точку .

Область сходимости степенного ряда характеризуется следующей теоремой.

Теорема 54. (Теорема Абеля) Если степенной ряд
сходится при , то он сходится при всех значениях , удовлетворяющих неравенству .

Доказательство. По условию ряд
сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости
Отсюда следует, что величина ограничена сверху, т.е. найдется такое число , что для всех выполняется неравенство . Пусть . Тогда
и, следовательно,

для всех Т. о. модуль каждого члена ряда

не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда бесконечно убывающей ( ) геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд сходится.

Следствие 1. Если ряд

расходится при , то он расходиться и при всех , удовлетворяющих неравенству .

Доказательство. Действительно, если допустить сходимость ряда в точке для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех , для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию.

Из теоремы Абеля следует, что если – точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости, а при всех значениях вне этого интервала, ряд расходится. Интервал называемой интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде .

Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Т. е. – это такое число, что при всех ряд сходится, а при всех ряд расходится. На концах интервала сходимости сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда

составим ряд из модулей этого ряда

По признаку Даламбера

в точке . Ряд сходится, если

т. е.

Обозначим

Аналогично, используя радикальный признак Коши, получим формулу

Замечание 1. Если , то ряд сходится на всей числовой оси и считают, что .

Замечание 2. Если степенной ряд содержит не все степени , то интервалом сходимости находят непосредственно применяя признак Даламбера или Коши.

Использование степенных рядов для приближенных вычислений.

Непрерывные, дифференцируемые бесконечное число раз, функции можно раскладывать в ряды Тейлора и Маклорена, которые сходятся в некоторой области. Так

Ряд сходится для следующих значений

Если 0, то для

Если , то для .

Если , то для

Пусть требуется вычислить значение при с точностью

Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд

и , , то точное значение равно сумме этого ряда

a приближенное – частичной сумме

Точность вычислений увеличиваются с ростом . Абсолютная погрешность будет равна , где

Для знакочередующихся рядов . В остальных случаях, когда ряд знакочередующийся или положительный, составляют ряд из модулей и для него стараются найти положительный ряд с большими числами, который легко суммируется. ( Обычно это бывают геометрические прогрессии). В качестве оценки принимают величину остатка нового ряда.

Что бы вычислить определенный интеграл, подынтегральную функцию разлагают в степенной ряд, так что бы область интегрирования входила в интервал . Интеграл от функции заменяют интегралом от соответствующего степенного ряда и вычисляют его с заданной точностью.