Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Рис. 3. Дифракционная решетка

Дифракционная решетка является основным элементом спектральных приборов и представляет собой периодическую структуру, выгравированную специальной делительной машиной на поверхности стеклянной пластинки. У хо­ро­ших решеток на каждый миллиметр прихо­дится до 2000 штрихов. На практике приме­няются также и более грубые решетки с 50 – 100 штрихами на миллиметр, нане­сенными на поверхность прозрачной пленки. Простейшая дифракционная решетка состоит из прозрач­ных участков (щелей), разделенных непро­зрачными промежутками.

Дифракционная картина на решетке определяется как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света от всех щелей.

Оптическая разность хода между крайними лучами на периоде решетки

. (7)

Для того, чтобы в точке C_j наблюдался дифракционный максимум, разность хода Δ между волнами, испущенными соседними щелями, должна быть равна целому числу длин волн:

. (8)

Здесь m – целое число, которое называется порядком дифракционного максимума. В тех точках экрана, для которых это условие выполнено, располагаются так называемые главные максимумы дифракционной картины. Амплитуда суммарного колебания в этих точках экрана максимальна:

А_max ≈ NA_φ,

где A_φ - амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под уг­лом φ.

Интенсивность главного максимума

, (9)

Рис. 5. Распределение интенсивности при дифракции монохроматического света на решетках с различным числом щелей. I0 – интенсивность колебаний при дифракции света на одной щели.

При многолучевой интерференции от N щелей амплитуда колебаний возрастает в N раз, а интенсивность в N² раз по сравнению с колебанием, которое возбуждает волна только от одной щели.

При смещении из главных максимумов интенсивность коле­баний быстро спадает. Чтобы N волн погасили друг друга, разность фаз должна измениться на 2π / N, а не на π, как при интерференции двух волн. Т. о., при переходе из главного мак­си­му­ма в соседний минимум раз­ность хода Δ = d sin θ должна из­ме­ниться на λ / N. Отсюда сле­дует важный вывод: главные мак­симумы при дифракции света на решетке чрезвычайно узки.

Определим количество дифракционных максимумов, даваемых решеткой по одну сторону от центра экрана, с учетом условий φ = π/2 - максимальный угол дифракции; sin φ <1:

. (10)

При этом не следует забывать, что m - целое число.

Рис. 6. Разложение белого света в спектр с помощью дифракционной решетки.

Как следует из формулы (8) дифракционной решетки, положение главных максимумов (кроме нулевого) зависит от длины волны λ. Поэтому решетка способна разлагать излучение в спектр, то есть она является спектральным прибором. Если на решетку падает немонохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции (т. е. при каждом значении m) возникает спектр исследуемого излучения, причем фиолетовая часть спектра располагается ближе к максимуму нулевого порядка.

С помощью дифракционной решетки можно производить очень точные измерения длины волны. Если период d решетки известен, то определение длины сводится к измерению угла j_m, соответствующего направлению на выбранную линию в спектре m-го порядка. На практике обычно используются спектры 1-го или 2-го порядков.

Угловая дисперсия дифракционной решетки

Основное назначение дифракционной ре­шетки - установление длины волны исследуемого излучения. Так как положение спектральных линий задается углом, определяющим направ­ле­ние лучей, Качество дифракционной решетки определяется угловой дисперсией (D) :

, (11)

где ∆φ - угловое расстояние между спектральными линиями, отли­чающимися по длине волны на ∆λ . D - угловое расстояние между двумя линиями, отличаю­щи­ми­ся по длине волны на 1 Ангстрем (1=10^-10 м).

Дифференцируя (8) слева по φ, а справа по λ, находим

. (12)

Чем меньше период решетки d и чем выше порядок спектра m, тем больше угловая дисперсия. В пределах небольших углов (cos φ ~1 ) можно положить

. (13)

Из выражения (13) следует, что угловая дисперсия прямо пропорциональна порядку дифракции mи обратно пропорциональна рас­стоянию между соседними штрихами d . Следовательно, для увеличения дисперсии необходимо увеличивать число штрихов на единицу длины. Этим объясняется необходимость изготовления дифракцион­ных решеток с возможно большим числом штрихов на 1мм ширины.