Полученная формула

(9)

называется формулой полной вероятности. В отличие от условных вероятностей (7), обеспечиваемых событию А отдельными событиями полной группы, формула полной вероятности определяет итоговую (полную) вероятность события А, которую обеспечивает ему вся полная группа событий в целом.

Примечание. Во многих практических задачах роль событий полной группы играют некоторые предположения (гипотезы). Поэтому события обычно называют гипотезами.

Пример 3. Имеются две урны (ящика) с шарами. В первой урне содержатся 2 белых и 1 черный шар, а во второй 1 белый и 2 черных шара. Из первой урны во вторую наудачу перенесли один шар, а затем из второй урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность того, что в итоге из второй урны извлечен белый шар?

Решение. Неизвестно, какой шар (белый или черный) перенесли из первой урны во вторую. Есть две гипотезы:

гипотеза В₁ – из первой урны во вторую перенесен белый шар;

гипотеза В₂ – из первой урны во вторую перенесен черный шар.

Гипотезы (В₁; В₂) образуют, очевидно, полную группу случайных событий. При этом

Далее, пусть А – событие, состоящее в том, что из второй урны после перенесения в нее одного шара из первой урны извлечен белый шар. Очевидно, что

А искомую вероятность события А (полную вероятность) найдем по формуле полной вероятности:

А теперь предположим, что испытание, в котором событие А могло произойти или не произойти, уже произведено, и событие А в этом испытании появилось. Встает естественный вопрос: какими теперь, в свете этого факта, будут вероятности справедливости гипотез ? То есть каковы вероятности

?(10)

Эти вероятности находятся по формуле Байеса:

(k=1,2…n) (11)

Здесь - полная вероятность события А, подсчитываемая по формуле (9).

Вывод формулы Байеса очень прост: используя формулу (8) для зависимых событий, получим:

(k=1,2…n)

Из последнего равенства и вытекает формула Байеса.

Пример 4.Пусть указанный в примере 3 эксперимент совершен, и в итоге из второй урны вынут белый шар (событие А произошло). Вопрос: каковы вероятности того, что при этом из первой урны во вторую был перенесен белый шар и черный шар соответственно?

Решение. Искомые вероятности получим по формуле Байеса:

;

Сравнивая вероятности справедливости гипотез В₁ и В₂, найденные до опыта () с вероятностями справедливости этих же гипотез после опыта () видим, что вероятность справедливости первой гипотезы выросла, а вероятность справедливости второй гипотезы уменьшилась. И это естественно: результат испытания (извлечение из второй урны белого шара) в большей мере подтвердил справедливость гипотезы В₁ (во вторую урну перенесен белый шар), чем гипотезы В₂ (во вторую урну перенесен черный шар).

Заметим, что сумма вероятностей гипотез В₁ и В₂ как до опыта, так и после опыта равна 1. И это естественно, ибо и после опыта полная группа гипотез продолжает оставаться полной.

Упражнения:

1. Из коробки домино (в ней всего 28 костей) наудачу последовательно вынимаются две кости. Какова вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой?

Ответ: .

2. Из коробки домино наудачу последовательно извлечено две кости, причем вторая кость подошла (приставилась) к первой. Какова вероятность того, что первая кость: а) была дублем? б) не была дублем?

Ответ: а); б).

3. Из колоды в 36 карт наудачу последовательно вынимаются две карты. Какова вероятность того, что вторая из них окажется тузом?

Ответ: .

4. Студент знает не все экзаменационные билеты. Какова вероятность вытащить на экзамене билет, который он знает, у студента больше: когда он идет брать билет первым? вторым? …последним?

Ответ: Все вероятности одинаковы.

5. Имеются три одинаковых запечатанных ящика с деталями. В первом ящике все детали стандартные; во втором половина стандартных и половина нестандартных; в третьем – все детали нестандартные. Наудачу вскрыт один ящик, и вынутая из него деталь оказалась стандартной. Каковы вероятности того, что был вскрыт: а) первый ящик; б) второй; в) третий.

Ответ: а); б); в) 0.

6. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Ответ: 0,4.

7. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равная 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что грузовая машина.

Ответ: 3/7.