Виды симметричных периодических функций.

Периодические несинусоидальные функции, обладающие каким-либо видом симметрии, имеют определенные свойства, которые упрощают разложение этих функций в тригонометрический ряд. Существуют функции, симметричные относительно оси абсцисс, относительно оси ординат, относительно начала координат, а также функции, симметричные как относительно оси абсцисс, так и относительно оси ординат. Рассмотрим такие функции.

Функция, симметричная относительно оси абсцисс.

Функция, удовлетворяющая условию

называется симметричной относительно оси абсцисс. Иными словами, функция симметрична относительно оси абсцисс, если ее двум абсциссам, отличающимся на полпериода Т/2, соответствуют равные, но разные по знаку ординаты. полуволны по оси на полпериода, т. е. на Т!2, и зеркального отражения относительно оси Х получается изображение отрицательной полуволны.

Рисунок3. Функция симметричная оси абсцисс.

Такая функция при разложении в ряд Фурье не содержит постоянной составляющей А₀ и высших гармоник четного порядка, а только нечетные гармоники. Следовательно ряд Фурье такой функции имеет вид:

(5)

Функция симметричная относительно оси ординат.

Функция удовлетворяющая условию f(ωt)=f(-ωt) называется симметричной относительно оси ординат.

Функция симметричная оси ординат, при разложении в ряд Фурье не содержит синусов, а только косинусы и постоянную составляющую.

(6)

Рисунок4. Функция симметричная относительно оси ординат.

Функция симметричная относительно начала координат.

Функция у которой точка нуля функции совпадает с началом координат и удовлетворяет условию f(ωt)=-f(-ωt) называется симметричной относительно начала координат. При разложении в ряд Фурье не содержат постоянной составляющей и косинусов и могут быть представлены рядом:

(7)

Рисунок 5. Функция симметричная относительно начала координат.

Функция симметричная относительно оси абсцисс и начала координат.

Если функция симметрична относительно оси абсцисс, то при разложении в ряд Фурье в нем отсутствуют нулевая и четные гармоники, а для функции симметричной относительно начала координат отсутствуют и косинусы. Следовательно при разложении в ряд Фурье эта функция будет иметь вид:

(8)

Рисунок6. Функция симметричная относительно оси абсцисс и начала координат.