Покажем единственность полинома Лагранжа.

Называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Существуют другие формы записи интерполяционного многочлена, Формула Ньютона и ее варианты. Этим вариантам записи соответствует различие в величине вычислительной погрешности, а также различное количество арифметических операций.

Предположим обратное, пусть - полином степени не выше n и

Тогда полином - обращается в нуль в (n+1) точках x0 , x1 , ,xn и степени не выше n, т.е.

По следствию из основной теоремы алгебры многочленов – многочлен n –ойстепени не может иметь более n корней.

Формуле Лагранжа можно придать более сжатый вид:

Дифференцируя по х это произведение, получим:

При x=xi

Отсюда, получаем

Замечание. Нетрудно оценить число арифметических действий, в главном порядке по n это есть величина O(n2).

Рассмотрим 2 частных случая интерполяционного полинома Лагранжа.

При n =1 имеем 2 узла и формула Ln представляет собой уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки:

При n =2 получим уравнение параболы L2(x), проходящей через 3 точки:

L1(x) и L2(x), называются соответственно формулами линейной и квадратичнойинтерполяции.