Характеристический многочлен
Свойство 1:
Если - собственная пара матрицы А, a¹0 – число, то является собственной парой А.
Из (1) или
- собственный вектор,
l- собственное число А.
Свойство 2:
Пусть - собственная пара матрицы , тогда - собственная пара матрицы А.
Из (1):
собственная пара для А.
Свойство 3:
Пусть - собственная пара матрицы А, тогда - собственная пара для матрицы
Умножим слева на
Свойство 4:
Собственными числами диагональных и треугольных матриц являются .
Из (2) имеем:
Степенной метод (определение наибольших по модулю l и ).
Пусть
собственное число матрицы А,
собственный вектор, соответствующий .
Возьмем произвольный вектор :
базис.
Итерации вектора:
координаты вектора в базисе .
Собственные вектора образуют базис (линейно–независимы)
- разложение по базису из собственных векторов.
- const.
- собственный вектор матрицы А.
(3)
Разложение по базису собственных векторов .
(4)
(4) (4) (3)
или
- координаты в базисе .
Аналогично:
Выбор и .
Делим на
или
m - достаточно большое.
Вектор является собственным вектором А.
отличается от на константу a.
Итак:
e - задано.
m -?
По i среднее арифметическое:
Применение степенного метода для нахождения наименьшего по модулю собственного числа знакоопределенной матрицы А, когда уже найдено.
Для этого находим наибольшее по модулю собственное число - матрицы .
Тогда соответствующий собственный вектор и число будут образовывать искомую собственную пару.
Действительно пусть и - собственные пары матрицы А.
- наименьшее по модулю собственное число.
Вычитая тождество:
,
получаем:
.
Значит, и являются собственной парой матрицы .
Так как для знакоопределенной матрицы справедливо неравенство:
,
где - наибольшее, - наименьшее собственное число А, то наибольшее по модулю собственное число матрицы и может быть найдено степенным методом.