Характеристический многочлен
Свойство 1:
Если 
- собственная пара матрицы А, a¹0 – число, то 
является собственной парой А.
Из (1) 
или 
- собственный вектор,
l- собственное число А.
Свойство 2:
Пусть 
- собственная пара матрицы 
, тогда 
- собственная пара матрицы А.
Из (1):
собственная пара для А.
Свойство 3:
Пусть 
- собственная пара матрицы А, тогда 
- собственная пара для матрицы 
Умножим слева на 
Свойство 4:
Собственными числами диагональных и треугольных матриц являются 
.
Из (2) имеем:
Степенной метод (определение наибольших по модулю l и 
).
Пусть 
собственное число матрицы А,
собственный вектор, соответствующий 
.
Возьмем произвольный вектор 
:
базис.
Итерации вектора:
координаты вектора 
в базисе 
.
Собственные вектора 
образуют базис (линейно–независимы)
- разложение по базису из собственных векторов.
- const.
- собственный вектор матрицы А.
(3)
Разложение по базису собственных векторов 
.
(4)
(4) (4) (3)
или
- координаты в базисе .
Аналогично:
Выбор и .
Делим на 
или
m - достаточно большое.
Вектор 
является собственным вектором А.
отличается от 
на константу a.
Итак:
e - задано.
m -?
По i среднее арифметическое:
Применение степенного метода для нахождения наименьшего по модулю собственного числа 
знакоопределенной матрицы А, когда уже найдено.
Для этого находим наибольшее по модулю собственное число 
- матрицы 
.
Тогда соответствующий собственный вектор и число 
будут образовывать искомую собственную пару.
Действительно пусть 
и 
- собственные пары матрицы А.
- наименьшее по модулю собственное число.
Вычитая тождество:
,
получаем:
.
Значит, 
и 
являются собственной парой матрицы .
Так как для знакоопределенной матрицы справедливо неравенство:
,
где - наибольшее, - наименьшее собственное число А, то наибольшее по модулю собственное число матрицы и может быть найдено степенным методом.