Решение СЛАУ

Численные методы линейной алгебры

ЛЕКЦИЯ №2

1. 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ с невырожденной (квадратной) матрицей.

2. 2. Нахождение собственных значений и собственных векторов для квадратных матриц – алгебраическая проблема собственных значений.

(1)

С квадратной невырожденной матрицей:

Матрица А определяет отображение

2) Вычисление определителя матрицы:

(2)

3) Нахождение обратной матрицы А^-1 для невырожденной квадратной матрицы А:

(3)

Формальное решение. Устойчивость.

Формальное решение задачи (1) строится по известным формулам Крамера:

Формальное решение устойчиво, т.е. непрерывно зависит от входных данных Aи f .

Действительно, варьируя , найдем:

Получаем, что:

(4)

Таким образом:

Нормы

Основные используемые в нормы:

1) 1)Норма вектора x.

Запишем разложение вектора по базису:

.

Базисные вектора образуют строку e , а координаты вектора `x - столбец X

a) a) Евклидова норма вектора

b) b) -Норма (при p=2 норма Гильберта - Шмидта)

(для конечномерного случая 1/n можно перед суммой опустить).