Решение уравнений графическим методом

Любое уравнение можно преобразовать в функцию вида F(x)=0. Для этого всю правую часть уравнения (часть правее знака равенства) следует перенести влево. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения F(x) = 0 - это точки пересечения графика функции F(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции F(x) и отметить точки пересечения F(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. К примеру, уравнение (3) можно преобразовать в следующую функцию y(t)

y(t) = P - ехр(A₁ - B₁/(t+C₁+273.15)) x₁ - ехр(A₂ – B₂/(t + C₁ + 273.15)) x_2.

Значение переменной t, при котором функция y(t) равняется нулю, и будет температурой кипения смеси.

Для примера рассмотрим решение кубического уравнения

(5)

при следующих значения его коэффициентов:

Найдем решение уравнения y(x)=0 графическим методом. Для этого построим график функции y(x) (рис. 1), из которого следует, что корни уравнения лежат в интервалах [-2; -1], [1; 2], [3; 5].

Рис. 1

При решении трансцендентных уравнений построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение F(x) = 0 равносильным ему уравнением:

f₁(x)=f₂(x),

где функции f₁(x) и f₂(x) - более простые, чем функция F(x). Тогда, построив графики функций у = f₁(x) и у = f₂(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример. Графически определить корни трансцендентного уравнения:

x lg x = 1. (6)

Уравнение (6) удобно переписать в виде равенства:

lg x=1/x.

Отсюда ясно, что корни уравнения (6) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y1 = lg x и гиперболы y2 = 1/x. Построив эти кривые (рис. 2), приближенно найдем единственный корень x1≈2,5 уравнения (6) или определим содержащий его отрезок.

Рис. 2

Задание 1. Студентам выполнить решение данного примера, а также решить уравнения в соответствии с заданным вариантом.

Для отделения корней можно эффективно использовать специальные программы. Пусть имеется уравнение F(х) = 0, причем можно считать, что все корни находятся на отрезке [А;В] (рис. 3), в котором функция F(x) определена, непрерывна и F(A)*F(B)<0. Требуется отделить корни уравнения, т. е. указать все отрезки, содержащие по одному корню.

Будем вычислять значения F(x), начиная с точки x=A, двигаясь вправо с некоторым шагом h. Как только обнаружится пара соседних значений F(x), имеющих разные знаки, и функция F(x) будет монотонной на этом отрезке, то соответствующие значения аргумента х (предыдущее и последующее) можно считать концами отрезка, содержащего корень.

Схема соответствующего алгоритма изображена на рис. 4.

Рис. 3

Рис. 4

Результатом решения поставленной задачи будут выводимые в цикле значения параметров х₁ и x₂ (концов выделенных отрезков). Очевидно, что надежность рассмотренного подхода к отделению корней уравнений зависит как от характера функции F(x), так и от выбранной величины шага h. Рекомендуется выбирать при отделении корней достаточно малые значения h. По схеме алгоритма отделения корней, изображенной на рис. 4, следует составить программу в пакете SMath Studio.

Задание 2. Студентам разработать программу и выполнить отделение корней по заданию преподавателя.