Начальные и центральные моменты.

Начальным моментом s-го порядка ДСВ Х, заданной рядом распределения называется сумма ряда ; для НСВ .

Центральным моментом s-го порядка ДСВ Х, заданной рядом распределения называется сумма ряда; для НСВ

Начальный момент первого порядка – математическое ожидание, центральный момент второго порядка – дисперсия СВ. (Для любой СВ центральный момент первого порядка = 0)

Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии)

Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то

Нормированный центральный момент четвёртого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс)

для плосковершинных кривых

Центральные и начальные моменты связаны соотношениями:

Пример:Дан ряд распределения СВ Х

Найти: начальные и центральные моменты первых четырёх порядков этой СВ, а также определить асимметрию и эксцесс.

Решение:

>> x=[1 3 5 7 9]; p=[0.1 0.4 0.2 0.2 0.1];

>> L1=sum(x.*p) % начальный момент первого порядка (мат.ожидание)

L1 = 4.6000

>> L2=sum(x.^2.*p) %начальный момент второго порядка

L2 = 26.6000

>> L3=sum(x.^3.*p) %начальный момент третьего порядка

L3 = 177.4000

>> L4=sum(x.^4.*p) %начальный момент четвёртого порядка

L4 = 1.2938e+003

>> M2=L2-L1^2 %центральный момент второго порядка (диСперСия)

M2 = 5.4400

>> SKO=sqrt(M2) % средне квадратичное отклонение

SKO = 2.3324

>> M3=L3-3*L1*L2+2*L1^3 %центральный момент 3-го порядка

M3 = 4.9920

>> Sk=M3/SKO^3 % аСимметрия

Sk = 0.3934

>> M4=L4-4*L1*L3+6*L1^2*L2-3*L1^4 %Центр. момент 4-го порядка

M4 = 63.5392

>> Ex=M4/SKO^4-3 %экСцеСС

Ex = -0.8529