Степенной ряд.

Степенным рядом называется ряд вида (1): а_о+а₁х+а₂х²+...+а_пх^п+...,

а также ряд более общего вида (2): а_о+а₁(х-х₀)+а₂х²(х-х₀) ²+...+а_пх^п(х-х₀) ⁿ+...,

говорят, что он расположен соответственно по степеням х, или по степеням х - х₀.

Постоянные а₀, a₁, ... , а_п, ... называются коэффициентами степенного ряда.

Если обозначить х-х₀ через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, степенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при х=0.

Относительно сходимости его в других точках могут представиться три случая

1) степенной ряд может расходится во всех точках, кроме х=0, например,

1¹х¹+2²х²+3³х³+…+п^пх^п+ ...,

2) степенной ряд может сходиться во всех точках, например,

3) степенной ряд может сходиться в одних точках и расходится в других.