Ряд Тейлора.

Разложение функции в окрестности заданной точки

Определение: Ряд, все члены которого являются функциями одного и того же аргумента, называется функциональным.

где функции определены и непрерывны в одном и том же интервале, конечном или бесконечном.

Определение: Функциональный ряд вида называется степенным.

Числа - называются коэффициентами степенного ряда.

Функцию, имеющую производные порядка n, можно представить в форме полинома n-ой степени, называемого рядом Тейлора:

При а=0 ряд Тейлора преобразуется в ряд Маклорена.

Разложение математических функций в ряд Тейлора осуществляется с помощью функции taylor:

TAYLOR(f, n, x, a) по умолчанию выводится шесть первых членов ряда разложения в окрестности точки ноль; n – число членов ряда разложения, х – переменная относительно которой производится разложение, а – точка, в окрестности которой производится разложение.

Пример: Записать первых пять членов ряда Тейлора для функции вблизи точки х = 1

> > syms x

>> taylor(log(x),5,1)

x-1-1/2*(x-1)^2+1/3*(x-1)^3-1/4*(x-1)^4

Пример: Разложить функцию по переменной t

>>taylor(x^t,3,t) returns

1+log(x)*t+1/2*log(x)^2*t^2

В состав ToolBox Symbolic Math входит приложение taylortool с графическим интерфейсом, предназначенное для наглядной демонстрации разложений в ряд различных функций, в том числе и определённых пользователем.

Пользователь может вводить формулы различных функций в строке f(x) = в соответствии с правилами Matlab и исследовать приближение функции на произвольном интервале отрезком ряда Тейлора, содержащим различное число членов разложения. Интерфейс приложения taylortool достаточно простой и не требует дополнительных пояснений.