Необходимый признак сходимости числового ряда.

Теорема 1. Для сходимости любого числового ряда (1) необходимо, чтобы a_n ® 0 при n® ∞ , то есть чтобы .

Доказательство. Допустим, что ряд (1) сходится. Это значит, что существует и конечна его сумма S_∞, которая определяется пределом (4). Учитывая, что , откуда следует, что , получаем:

То есть действительно a_n ® 0 при n ® ∞ . Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что если a_n не стремится к нулю при n® ∞, то ряд сходиться не может – он заведомо расходится.

Примечание. Условие a_n ® 0 при n® ∞ является необходимым, но не достаточным условием сходимости числового ряда (1). Это значит, что оно еще не гарантирует сходимости ряда. Иначе говоря, возможна ситуация, когда при a_n ® 0 при n® ∞ , и тем не менее ряд (1) расходится.

Классическим примером такого ряда является гармонический ряд

(16)

Необходимое условие сходимости при n® ∞ для этого ряда очевидным образом выполняется. И тем не менее этот ряд расходится, так как его сумма S= ∞ .

Докажем это. Для этого рассмотрим рис.1. На этом рисунке изображена бесконечно протяженная в горизонтальном направлении ступенчатая фигура, состоящая из заштрихованных прямоугольников, площади которых соответственно равны (…). То есть суммарная площадь S этой заштрихованной фигуры как раз равна сумме S гармонического ряда (16). Но эта площадь S заведомо больше площади S₀ между осью ох и гиперболой в пределах для х от 1 до ¥. А

.

И так как S > S₀ , то и S = ∞. Таким образом, гармонический ряд расходится, ибо его сумма S равна ∞:

(17)