Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена

В предыдущих лекциях рассматривались степенные ряды, для которых в пределах области равномерной сходимости сумма ряда s(x) представляет собой непрерывную и бесконечно дифференцируемую функцию от х. Теперь поставим обратную задачу: найти степенной ряд, суммой которого является данная функция.

Определение 42.1. Представление функции в виде

(42.1)

называется ее разложением в степенной ряд.

Теорема 42.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х₀ в степенной ряд (42.1) с радиусом сходимости R, то:

1) функция f имеет на интервале (x₀ – R , x₀ + R) производные всех порядков, которые можно найти почленным дифференцированием ряда (42.1):

(42.2)

2) (42.3)

3) ряды (42.1), (42.2) и (42.3) имеют одинаковые радиусы сходимости.

Доказательство всех трех утверждений следует из общих свойств степенных рядов.

Теорема 42.2. Если функция f раскладывается в некоторой окрестности точки х₀ в степенной ряд (42.1), то , и, следовательно, справедлива формула

(42.4)

Доказательство.

Дифференцируя т раз равенство (42.1), получим:

Примем х = х₀ , тогда f^(m)(x₀) = m!a_m , что доказывает формулу (42.4).

Следствие. Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Действительно, из теоремы 42.2 следует, что коэффициенты степенного ряда могут иметь только вид, задаваемый формулой (42.4).

Определение 42.2. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд

называется рядом Тейлора.

Пример. Найдем разложение в ряд Тейлора при х₀ = 0 функции f(x) = 2^x.

. Следовательно,

.

Определение 42.3. Если при разложении в ряд Тейлора принимается х₀ = 0, то полученный ряд (42.5)

называется рядом Маклорена(см. предыдущий пример).