Условия Коши-Римана (C.-R.).

(Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)

Пусть есть однозначная функция комплексного переменного , опреде­лённая в области . Эта функция будет известна, если даны две функции и двух действительных переменных . Если функции и взять независимо друг от друга, то функция , вообще говоря, не будет дифференцируемой, несмотря на то, что обе функ­ции и имеют каждая частные производные относительно .

Так, в вышеуказанном примере — непрерывной, нигде не дифференцируемой функции, имеют каждая частные производные по . Следовательно, в случае дифференцируемости функции её действительная часть и коэффициент при мнимой части должны быть выбраны не независимо, а так, чтобы выполнялись некоторые условия. Выводом этих условий мы теперь и займёмся.

Рассмотрим функцию комплексной переменной , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

Стремление к нулю Dz®0 может осуществляться в следующих случаях:

1)

2)

В первом случае:

Во втором случае:

Тогда должны выполняться равенства:

Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.

Теорема 43.1.

Если функция имеет производную в точке

z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.

Также справедлива и обратная теорема.

На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.

Теорема 43.2.

Для того, чтобы функция была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.

Итак, пусть функция в некоторой точке имеет определён­ную конечную производную. Таким образом, имеем:

(43.7)

Так как может стремиться к нулю по произволь­ному закону, то, в частности, мы можем считать стре­мящимся к нулю. Геометрически (рис. 43.1) это означает, что мы заставляем точку приближаться к точке по прямой линии, параллельной действительной оси. При этом условии равенство (43.7) нам даст: , или , что может быть записано в виде

. (43.8)

Рис. 43.1.

Аналогично, принимая , т.е. заставляя точку приближаться к точке (рис. 43.1) по прямой линии, параллельной мнимой оси, получим из равенства (43.7)

,

что можно записать так:

(43.8а.)

Так как правые части равенств (43.8.)и (43.8а.) равны между собой, то должны быть равны и левые части этих равенств:

(43.9.)

Сравнивая между собой в обеих частях последнего равенства (43.9.) действительные и мнимые части, получаем:

- условия Коши-Римана (С.-R)

Итак, мы видим, что если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производ­ные функций и ,причём эти последние связаны между собой условиями Коши-Римана (С.-R). Эти условия носят название условий Коши-Ри­мана.

Мы показали, что условия (C.-R.) необходимы для того, чтобы функция была моногенной в точке . Покажем, что эти условия достаточны при дополнительном условии, что функции и дифференцируемы в рассматриваемой точке

,

т.е. что

где и – бесконечно малые величины высшего порядка, чем .

Заметив это, мы можем написать:

Заменяя здесь по формулам (C.-R.) и замечая, что от­ношение есть величина \ бесконечно малая вместе с , мы для отношения– получим следующее выражение:

Переходя в последнем равенстве к пределу при , стремящемся к нулю (или, чтото же, при , стремящемся к нулю), получим:

Из предыдущего вытекает, что для функции , аналити­ческой в области , условия (C.-R.) выполняются в каждой точке этой области; и обратно: если условия (C.-R.) имеют место повсюду в области и функции и дифференцируемы в области, то функция будет аналитической в .

Естественно, возникает вопрос: не будет ли выполнение условий (C.-R.) повсюду в области (без дополнительных условий дифференцируемости функций и ) достаточным для того, чтобы функция была аналитической в области ? На простом примере легко показать, что это не так. В самом деле, пусть

Во всякой точке плоскости, отличной от ну левой, точки, функция дифференцируема, а потому во всякой такой точке выполняются условия (C.-R.). Легко показать, что и в нулевой точке условия (C.-R.) выполняются.

Действительно, при имеем: ,

.

откуда

Аналогично находим при :

откуда . Итак, в нулевой точке все четыре частные производные

функций и равны нулю и, следовательно, условия (C.-R.) остаются в силе. Таким образом, для рассматриваемой функции условия (C.-R.) выполнены во всей плоскости комплексного перемен­ного , в то время как наша функция не будет аналитической по­всюду в плоскости, потому что в нулевой точке она не будет даже непрерывной. Чтобы это показать, достаточно приближать точку к нулевой точке по прямой линии ; тогда

когда стремится к нулю, последнее выражение стремится к беско­нечности. В рассмотренном примере, сама функция не является непре­рывной повсюду в плоскости, хотя во всякой точке плоскости она удовлетворяет условиям (C.-R.).

Если предполагать, что и непрерывные функции, то можно доказать, что выполнение условий (C.-R.) повсюду в области необходимо и достаточно для того, чтобы данная функция была аналитической в области . Однако доказательство этого поло­жения выходит за пределы настоящего руководства.