Свойства равномерно сходящихся рядов
Теорема 40.2. Если функции un(x) непрерывны при 
и ряд 
равномерно сходится на Х, то его сумма s(x) тоже непрерывна в точке х0 .
Доказательство.
Выберем ε > 0. Тогда 
, поэтому существует такой номер п0 , что
- сумма конечного числа непрерывных функций, поэтому непрерывна в точке х0 . Поэтому существует такое δ > 0, что 
Тогда 
получаем:
то есть функция s(x) непрерывна при х = х0 .
Теорема 40.3. Пусть функции un(x) непрерывны на отрезке [a, b] и ряд равно-мерно сходится на этом отрезке. Тогда 
ряд 
тоже равномерно сходится на [a, b] и 
(40.2)
(то есть в условиях теоремы ряд можно почленно интегрировать).
Доказательство.
По теореме 40.2 функция s(x) = непрерывна на [a, b] и, следовательно, интегрируема на нем, то есть интеграл, стоящий в левой части равенства (40.2), существует. Покажем, что ряд равномерно сходится к функции
Обозначим 
Тогда для любого ε найдется такой номер N, что при n > N
Значит, ряд равномерно сходится, и его сумма равна σ (х) = .
Теорема доказана.
Теорема 40.4. Пусть функции un(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b] и ряд, составленный из их производных:
(40.3)
равномерно сходится на [a, b]. Тогда, если ряд сходится хотя бы в одной точке 
, то он сходится равномерно на всем [a, b], его сумма s(x)= является непрерывно дифференцируемой функцией и
(ряд можно почленно дифференцировать).
Доказательство.
Определим функцию σ(х) как . По теореме 40.3 ряд (40.3) можно почленно интегрировать:
.
Ряд, стоящий в правой части этого равенства, равномерно сходится на [a, b] по теореме 40.3. Но числовой ряд 
по условию теоремы сходится, следовательно, равномерно сходится и ряд . Тогда 
Функция σ(t) является суммой равномерно сходящегося ряда непрерывных функций на [a, b] и поэтому сама непрерывна. Тогда функция 
непрерывно дифференцируема на [a, b], и 
, что и требовалось доказать.
Определение 41.1. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
(41.1)
Замечание. С помощью замены х – х0 = t ряд (41.1) можно привести к виду 
, поэтому все свойства степенных рядов достаточно доказать для рядов вида
(41.2)
Теорема 41.1 (1-я теорема Абеля). Если степенной ряд (41.2) сходится при х = х0 , то при любом x: |x| < |x0| ряд (41.2) сходится абсолютно. Если же ряд (41.2) расходится при х = х0 , то он расходится при любом x: |x| > |x0|.
Доказательство.
Если ряд 
сходится, то 
поэтому существует константа с > 0:
. Следовательно, 
, а ряд 
при |x|<|x0| сходится, так как является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, ряд 
при |x|<|x0| абсолютно сходится.
Если известно, что ряд (41.2) расходится при х = х0 , то он не может сходиться при |x| > |x0| , так как из ранее доказанного при этом следовало бы, что он сходится и в точке х0 .
Таким образом, если найти наибольшее из чисел х0 > 0 таких, что (41.2) сходится при х = х0 , то областью сходимости данного ряда, как следует из теоремы Абеля, будет интервал (- х0 , х0 ), возможно, включающий одну или обе границы.
Определение 41.2. Число R ≥ 0 называется радиусом сходимостистепенного ряда (41.2), если 
этот ряд сходится, а 
расходится. Интервал (-R , R) называется интервалом сходимостиряда (41.2).
Примеры.
1) Для исследования абсолютной сходимости ряда 
применим признак Даламбера: 
. Следовательно, ряд сходится только при х = 0, и радиус его сходимости равен 0: R = 0.
2) Используя тот же признак Даламбера, можно показать, что ряд 
сходится при любом х , то есть 
3) Для ряда 
по признаку Даламбера получим:
Следовательно, при –1 < x < 1 ряд сходится, при
x < -1 и x > 1 расходится. При х = 1 получаем гармонический ряд, который, как извест-но, расходится, а при х = -1 ряд 
сходится условно по признаку Лейбница. Таким образом, радиус сходимости рассматриваемого ряда R = 1, а интервал сходи-мости – [-1, 1).