Теорема о равномерной непрерывности. Лемма Гейне-Бореля.

Лекция № 40.

Функция , непрерывная в замкнутой ограниченной об­ласти G, обладает свойством, которое выражается следующей тео­ремой:

Каково бы ни было малое положительное число , существует число такое, что для любых двух точек и областиG,расстояние между которыми , разность соответ­ствующих значений функции удовлетворяет неравенству

Эго свойство выражает, как говорят, равномерную непрерыв­ность функции в замкнутой области .

Теорема 40.1. Любая функция, непрерывная в замкнутой области (т. е. непрерывная во всякой точке области ), равномерно непре­рывна в области .

Доказательство. Из условия непрерывности функции в каждой точке области следует, что при любом существует круг с центром в точке радиуса такой, что для любых двух точек и , лежащих внутри этого круга, имеем: . С измене­нием радиус изменяется, и возникает вопрос: не будет ли он становиться меньше сколь угодно малого числа? Формулированная теорема утверждает, что радиус этого круга можно считать большим некоторого постоянного положительного числа. Доказательство этой теоремы будет основано на следующем вспомогательном предложе­нии, известном под именем леммы Гейне-Бореля: