Формула Гаусса-Остроградского.

Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.

z

S₂ (z=f₂(x,y))

S₃

V

S₁ (z=f₁(x,y))

O y

x D

Рис. 1.

Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S₁, заданную уравнением z = f₁(x, y), S₂ ( z = f₂ (x, y) ) и S₃ – цилиндрическую поверхность с образующей, параллель-ной оси Oz (рис.1).

Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) и вычислим интеграл

Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S₁

cos(n, z) < 0, на S₂ cos(n, z) > 0, a на S₃ cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыдущего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:

,

.

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, элементы площади поверхности S₁ и области D связаны соотношением dxdy = ΔS(-cos(n, z)) ). Следовательно, исходный интеграл можно представить в виде:

Окончательный результат можно записать так:

Таким же образом можно получить соотношения

Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:

(28/1.1)

Воспользовавшись формулой, задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:

(28/1.2)

где запись «S⁺» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.