Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода

Если задать единичный вектор выбранной нормали к поверхности S в виде п = {cos α, cos β, cos γ}, где α, β, γ – углы, образованные нормалью с осями координат, то (выбор знака зависит от направления нормали). Тогда из (27.2), (27.3) следует, что

. (27.12)

Здесь D – проекция поверхности S на плоскость Оху, а выражение для dS взято из формулы (27.5). Таким образом, вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению обычного двойного интеграла по области D от функции f, в которую вместо координаты z подставлено ее выражение из уравнения поверхности S. Обобщая эти рассуждения, получим, что

(27.13)

где D΄ и D΄΄ - проекции поверхности S на соответствующие координатные плоскости.

Пример. Вычислить поверхностный интеграл 2-го рода где S – нижняя сторона части конуса при

Применим формулу (27.12), учитывая, что выбрана нижняя сторона поверхности и что проекцией части конуса на плоскость Оху является круг :