Достаточные условия разложимости периодической функции в ряд Фурье

♦ Теорема 33.1 (Дирихле[2]; достаточные условия разложимости периодической функции в ряд Фурье).Пусть периодическая функция , определённая на , кроме, быть может, её точек разрыва, и имеющая период , является кусочно-гладкой в своей основной области (то есть на промежутке, длина которого равна периоду этой функции). Тогда:

1) ряд (33.4) сходится для , то есть существует сумма ряда Фурье

; (33.5)

2) сумма ряда Фурье равна функции в точках x её непрерывности: и равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа в точках разрыва функции, то есть . Так как для точек непрерывности x , то .

Если выполнены условия теоремы 33.1, то в выражении (33.4) вместо знака ~ пишут знак равенства . Таким образом,

. (33.6)

☼ Замечание 33.1. Если , то и , где , .☼

J Пример 33.1. Написать ряд Фурье периодической функции с периодом , если

Из выражений (33.3) имеем: , ,

,

Искомый ряд Фурье:

. J

33.3. Ряды Фурье чётных и нечётных функций

Если чётная функция, то .

Если нечётная функция, то .

♦ Теорема 33.2. 1) Ряд Фурье чётной периодической функции содержит только косинусы кратных дуг, то есть в его состав входят лишь чётные гармоники, включая свободный член.

2) Ряд Фурье нечётной периодической функции содержит только синусы кратных дуг, то есть в его состав входят лишь нечётные гармоники.

Доказательство. 1) Чётные функции : и ряд Фурье , где .

2) Нечётные функции : и ряд Фурье , где . ■