Тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье

Лекция 33. Ряды Фурье

Пусть кусочно-непрерывная периодическая функция с периодом . Представим функцию в виде суммы конечного или бесконечного числа гармоник , , того же периода .

Таким образом, получен тригонометрический ряд Фурье[1]:

. (33.1)

Эта задача возникла при математической обработке результатов наблюдений высоты приливной волны в данном месте, которая периодически повторяется с течением времени. Гармонический анализ высоты приливной волны позволил дать долгосрочные предсказания её величины, что важно для мореплавания.

Предположим, что ряд (33.1) сходится на промежутке и допускает почленное интегрирование:

. (33.2)

Так как , то , откуда .

Выражение

(33.3)

даёт среднее значение периодической функции на . Выражения

, (33.3)

называются коэффициентами Фурье периодической функции на .

Определение 33.1. Тригонометрический ряд (33.1), коэффициентами которого являются коэффициенты Фурье (33.3) данной периодической функции , называется её рядом Фурье, независимо от того, будет ли сумма этого ряда равна функции или нет.

В этом смысле говорят, что функция порождает ряд Фурье, и пишут

. (33.4)