Понятие интеграла Фурье
Предположим, что функция f(x) является кусочно-гладкой и периодической с периодом , кроме того, определим
Тогда периодическая функция f(х) является непрерывной и имеет непрерывную производную на всей числовой оси, за исключением, может быть, конечного числа точек на отрезке . Кроме того, в этих точках существуют конечные пределы и слева и справа. Множество обладающих такими свойствами функций обозначим через L1.
Каждую можно представить рядом Фурье
коэффициенты которого определяются по формулам:
,
, .
Исследуя ряд Фурье, мы доказали, что ряд Фурье функции сходится к f(x).
Предположим, что функция f является непериодической кусочно-гладкой на любом конечном отрезке вещественной числовой оси и абсолютно интегрируема на ней.
Множество кусочно-гладких на вещественной оси функций обозначим через L1 . Кроме того, как и в случае периодических функций, определим .
Выражение интеграла Фурье получим из ряда Фурье периодической функции .
Для этого в ряд подставим выражения коэффициентов , и .
Имеем: .
Вводим обозначения: .
Тогда
Пусть (функция f из периодической становится не периодической).
Очевидно, что ,
Второе слагаемое из выражения с
учётом обозначения приводим к виду
∆∆.
В таком виде эта сумма напоминает интегральную сумму функции Ф () на отрезке .
Перейдя к пределу , получаем
Это выражение назовём двойным интегралом Фурье для непериодической функции
Замечание. Интегральная сумма ∆отличается от классической интегральной суммы тем, что в этой интегральной сумме значения меняются с изменением Поэтому предельный переход требует соответствующего обоснования. Однако этого теоретического вопроса касаться не будем.
Пример 30.4.
Представить функцию
интегралом Фурье.
Очевидно, что эта функция
Поэтому
Так как f(0)=1, то .
Итак, используя интеграл Фурье, получили интересный результат. Напомним, что первообразная функция не может быть выражена в конечном виде.
Выражение называется разрывным множителем Дирихле.
Преобразуем интеграл Фурье следующим образом:
Обозначим:
Тогда .
В таком виде интеграл Фурье похож на ряд Фурье. Суммирование по дискретному параметру заменено интегрированием по непрерывно меняющемуся параметру . Коэффициенты и аналогичны коэффициентам и .