Розв’язання

Оператор оцінювання Дарбіна

Дарбін запропонував впорядковувати вектор пояснювальної змінної у порядку зростання і ввів як інструментальну змінну порядковий номер (ранг), тобто числа 1, 2, 3, 4 ... n. Метод Дарбіна можна застосовувати й тоді, коли модель містить декілька пояснювальних змінних. У цьому випадку спочатку знаходять відхилення значень кожної змінної від свого середнього значення, потім ці відхилення впорядковуються в порядку зростання і кожному з них присвоюється порядковий номер.

Приклад 7.3. На основі даних, які наведені у табл. 7.3, необхідно побудувати економетричну модель, що характеризує залежність витрат на харчування від загальних затрат.

7.3. Вихідні та розрахункові дані для побудови економетричної моделі

Рік	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й	8-й
Загальні затрати
Витрати на харчування Y	21,8	47,3	33,4	50,3	66,0	66,9	81,0	106,0

Вказівка Зважаючи на те, що вихідні дані базуються на соціологічних бюджетних дослідженнях, вони можуть мати помилки виміру.

1. Ідентифікуємо змінні.

Y — витрати на харчування, залежна змінна;

X — загальні затрати, незалежна змінна.

2. Специфікуємо модель у лінійній формі:

;

.

3. Оцінимо параметри моделі методом інструментальних змінних, використавши оператор Дарбіна для моделі з двома змінними

,

де — інструментальна змінна;

.

3.1. Введемо інструментальну змінну замість незалежної змінної X. Для цього впорядкуємо значення змінної у порядку зростання (табл. 7.4):

7.4. Впорядкування пояснювальної змінної

Рік	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й	8-й

3.2. Розрахуємо оцінки параметрів моделі на основі оператора Дарбіна:

;

;

.

4. Економетрична модель має вигляд:

.

Оцінку параметрів цієї моделі можна трактувати так: при збільшенні доходу на одиницю граничне зростання витрат на харчування становить 0,344 одиниці. Наявність вільного члена моделі (оцінка параметра ) свідчить про те, що існують інші чинники, крім доходу, які можуть певною мірою формувати витрати на харчування.

5. Розглянемо оцінку параметрів економетричної моделі з декількома пояснювальними змінними на основі методу інструментальних змінних.

Приклад 7.4. Нехай треба побудувати економетричну модель продуктивності праці на основі даних, які наведені у табл. 7.5

7.5. Вихідні та розрахункові дані для побудови економетричної моделі

Номер спостере-ження	Продук-тивність праці	Фондо-міст-кість	Затрати на прикладні дослід-ження
1	2	3	4	5	6	7	8
	5,3	8,5		5,5045	–1,26	0,0418	1,5876
	5,5	8,8		5,6855	–1,06	0,0344	1,1236
	5,7	8,9		5,7376	–0,86	0,0014	0,7396
	5,9	9,1		5,8910	–0,86	0,00008	0,4356
	6,2	9,3		6,0445	–0,66	0,0242	0,1296
	6,4	9,5		6,1733	–0,36	0,0514	0,0256
	6,6	9,7		6,3022	–0,16	0,0886	0,0016
	6,7	10,1		6,5107	0,04	0,0359	0,0196
	6,4	10,4		6,9616	0,14	0,0850	0,0256
	6,9	10,6		6,7959	–0,16	0,0108	0,1156
	7,0	11,3		7,1361	0,34	0,0185	0,1936
	7,3	11,7		7,3200	0,44	0,0004	0,5476
	7,5	11,8		7,3967	0,74	0,0107	0,8836
	7,4	11,9		7,4488	0,94	0,0024	0,7056
	7,6	12,5		7,7616	0,84	0,0260	1,0816
	98,4	154,1				0,4318	7,616