Пример 4
Вычислить интеграл: , если
Решение:
Запишем данный интеграл как повторный:
.
Основные свойства трехкратного интеграла.
Если область разбить на две области и плоскостью, параллельной какой-либо из плоскостей координат, то трехкратный интеграл по области равен сумме трехкратных интегралов по областям и . (При любом разбиении области на конечное число областей плоскостями, параллельными координатным плоскостям, имеет место равенство ).
(Теорема об оценке трехкратного интеграла)
Если и , соответственно, наименьшее и наибольшее значение функции в области , то имеет место неравенство:
Где есть объем данной области, а - трехкратный интеграл от функции по области .
(Теорема о среднем)
Трехкратный интеграл от непрерывной функции по области равен произведению его объема на значение функции в некоторой точке области , то есть
Замена переменных в тройном интеграле.
Пусть функции
Взаимно однозначно отображают область в декартовых координатах на область в криволинейных координатах . Пусть элемент объема области переходит в элемент области и пусть
.
Тогда
Аналогично тому, как это имело место в двойном интеграле
Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
Декартовые координаты точки пространства связаны с ее цилиндрическими координатами следующими соотношениями:
, .
Таким образом в цилиндрических координатах первые две координаты есть не что иное как полярные координаты точки (точка проекция точки на плоскость ). Третья координата является аппликатой точки .
Переход цилиндрическим координатам в тройном интеграле целесообразен, очевидно, в тех случаях, когда область ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , а направляющей цилиндрической поверхностью является любая кривая, уравнения которой достаточно просто выглядит в полярных координатах.
Найдем Якобиан:
=
Итак,
Определив пределы внутреннего интеграла по и представив в виде двукратного интеграла, получим
.
Тройной интеграл в сферических координатах.
Если точка в пространстве имеет прямоугольные координаты , то сферическими координатами точки называют тройку чисел , где -расстояние от точки до начала координат ;
- угол между лучом (точка - проекция точки на плоскость ) и осью ;
- угол между положительным направлением оси и лучом
Связь между декартовыми и сферическими координатами определяются соотношениями.