Геометричне визначення ймовірності

Статистичне визначення ймовірності

Відносна частота події (або частість) визначається як відношення числа випробувань, у яких ця подія з’явилася, до загального числа фактично проведених випробувань

де т – число іспитів, у яких подія настала, п – загальне число проведених випробувань.

Відносна частота є фіксуючою характеристикою, її обчислюють після випробування.

 

Ймовірність дорівнює відношенню міри множини, що є складовою частиною, до міри всієї множини. Під мірою розуміють довжину, площу чи об’єм.

Властивості ймовірності:

§ Ймовірність достовірної події дорівнює 1.

§ Ймовірність неможливої події дорівнює 0.

§ Ймовірність випадкової події приймає значення від нуля до одиниці

.

 

Приклад 1. Підкидають гральну кістку. Знайти ймовірність того, що число, яке випало, буде: а) парним; б) кратним 3.

Розв’язання.

У гральної кістки 6 граней – це є можливе число наслідків.

а) Серед усіх граней гральної кістки існує 3, що містять парні числа – 2, 4, 6. Тому ймовірність буде дорівнювати:

б) На гранях гральної кістки є два числа, кратних 3 – це 3 і 6. Тому ймовірність буде дорівнювати

 

Приклад 2. На картках написані букви О, Р, Т, П, С. Яка ймовірність, що при випадковому розташуванні карток в одну лінію вийде слово “СПОРТ”?

Розв’язання.

Число можливих наслідків у даному випадку дорівнює числу перестановок, яке можна зробити з 5 букв, тобто одне розташування букв відрізняється від іншого тільки порядком букв. Отже,

Сприятливий результат всього один, тому ймовірність буде дорівнювати

.

 

Приклад 3. Абонент забув дві останні цифри номера телефону і пам’ятає лише, що вони різні. Яка ймовірність правильного набору номера?

Розв’язання.

Число можливих наслідків дорівнює числу розміщень з 10 цифр по 2, тому що можуть брати участь будь-які дві різні цифри, і при цьому порядок набору теж буде мати значення. Отже,

.

Успішний результат один, тому

.

 

Приклад 4. У групі студентів 15 дівчат і 10 юнаків. Відбирають команду з 5 чоловік. Яка ймовірність, що в команді виявиться 3 юнака?

Розв’язання.

Число можливих наслідків дорівнює числу сполучень з 25 чоловік по 5 чоловік, тому що кожен варіант команди відрізняється від іншого хоча б однією людиною, а порядок значення не має. Отже,

Підрахуємо число наслідків, які сприяють появі події: серед 10 юнаків вибирають 3-х, це можна зробити способами, інші в команді – 2 дівчини, їх можна вибрати способами, причому кожен варіант вибору 3-х юнаків може сполучатися з кожним варіантом 2-х дівчат, тому за принципом множення

.

Ймовірність того, що в команді виявиться 3 юнака, дорівнює:

Приклад 5. У коло радіуса R навмання кинута точка. Знайти ймовірність того, що точка буде знаходитись у вписаному в коло квадраті.

Розв’язання.

Можливі наслідки будуть складати точки кола, вони заповнюють площу кола, тобто Щоб визначити сприятливі наслідки події, потрібно знайти площу вписаного квадрата. Відомо, що сторона квадрата, вписаного в коло радіуса , дорівнює , тоді площа його складає , тобто

Ймовірність дорівнює

3.4. Основні теореми і формули

 

Як правило, для визначення ймовірностей подій застосовуються не тільки безпосередні прямі методи, а і непрямі, що дозволяють за відомими ймовірностями одних подій визначати ймовірності інших подій, які з ними пов’язані. Уся теорія ймовірностей, в основному, і є системою таких непрямих методів, застосування яких дозволяє звести необхідний експеримент до мінімуму.

 

Сумою двох подій і називають подію , що складається в появі хоча б однієї з подій і (чи , чи , чи і ).