Функциональные ряды.

Лекция 27

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х₀), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммойряда в точке х₀.

Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимостиряда.

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами:

т.е. имеет место неравенство: .

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируетсячисловым рядом .

Пример 27.1. Исследовать на сходимость ряд .

Так как всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что общегармонический ряд при a=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример 27.2. Исследовать на сходимость ряд .

На отрезке [-1,1] выполняется неравенство , т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится.