Елементи комбінаторики

III ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ КУРСУ

Правила оформлення контрольної роботи

II ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

Основним методом оволодіння навчальним матеріалом студентом-заочником є його самостійна робота в міжсесійний період. Теоретичний матеріал вивчається по підручнику і в обов’язковому порядку закріплюється рішенням прикладів і задач. Без рішення задач значна більшість навчальних матеріалів з теорії ймовірностей і математичної статистики не може бути засвоєна. Студент має можливість звернутися до викладача для одержання консультації.

Після вивчення відповідного матеріалу студент виконує контрольну роботу.

Контрольна робота містить 10 задач – по одній з розділів I-Х. Задачі варто вибирати, орієнтуючись на дві останні цифри залікової книжки. Якщо дві останні цифри утворять число, що перевищує 30, то з нього віднімають число, кратне 30, і одержують номер варіанта. Наприклад, останні цифри залікової книжки 79, тоді варіант визначають так: 79 – 60 =19.

1. Контрольну роботу треба виконувати в окремому зошиті чорнилом чи пастою будь-якого кольору, крім червоного, залишаючи місце для зауважень викладача.

2. У заголовку роботи повинні бути ясно написані прізвище студента, його ініціали, номер залікової книжки. Заголовок роботи потрібно помістити на обкладинці зошита.

3. Рішення задач слід розташовувати в порядку їх номерів.

4. Перед рішенням кожної задачі треба виписати цілком її умову. У тому випадку, коли кілька задач мають однакове формулювання, треба, переписуючи умову задачі, замінити загальні дані конкретними відповідно до варіанта.

5. Рішення задач необхідно викладати докладно і акуратно, пояснюючи дії.

6. Наприкінці виконаної роботи треба перелічити використану для рішення літературу.

У розділі “Комбінаторний аналіз” вивчаються поняття, що дозволяють визначити без прямого перерахування різні можливі комбінації скінченного числа елементів деякої множини.

Принцип множення:

Нехай потрібно послідовно виконати дій. Якщо першу дію можна виконати різними способами, другу – різними способами і так до -ої дії, яку можна виконати різними способами, то всі дій можна виконати різними способами.

Принцип додавання:

Якщо дві дії взаємно виключають одна одну, причому одну з них можна виконати різними способами, а другу – різними способами, то яку-небудь одну з них можна виконати різними способами.

Перестановкою з елементів називають упорядковане розташування цих елементів у певній лінійній послідовності.

Різні перестановки з елементів відрізняються порядком їх розташування. Число перестановок з елементів:

Наприклад, з трьох елементів можна скласти перестановок: , , , , , .

Розміщенням з елементів по елементів називається довільна упорядкована -елементна підмножина -елементної множини.

Різні розміщення з елементів по відрізняються одне від одного набором елементів або порядком їх розташування. Число розміщень з елементів по елементів знаходять таким чином:

Наприклад, з трьох елементів сформуємо групи по 2 елемента, їх кількість визначимо так: . Самі групи будуть такими: , , , , , .

Сполученням з елементів по називається довільна неупорядкована
-елементна підмножина -елементної множини.

Різні сполучення з елементів по відрізняються одне від одного набором елементів. Число сполучень з елементів по елементів знаходиться так:

Визначимо кількість груп по 2 елемента. З трьох елементів : . Отримаємо такі групи: , , .

Комбінації і являють собою одне сполучення.

Зауваження: і т.д.

Розв’язання.

Кожну цифру числа можна вибрати певною кількістю способів: першу – дев’ятьма (всі цифри підходять, крім нуля, інакше це буде не тризначне число), другу – десятьма і третю – десятьма способами. За принципом множення: .

Розв’язання.

За принципом множення на перше місце можуть претендувати 12 команд, на друге – 11 (одна команда зайняла перше місце), на третє – 10. Отже, загальне число способів .

За допомогою числа розміщень:

.

Розв’язання.

Оскільки при заповненні квитка не важливий порядок вибору чисел, то кількість способів обчислюють за формулою числа сполучень:

.