J Пример 25.7.

,

так как функция чётная. J

J Пример 25.8. , так как функция нечётная. J

25.6. Формула интегрирования по частям для определённого интеграла

♦ Теорема 25.9.

, (25.11)

где и – непрерывно дифференцируемые на отрезке функции.

Доказательство. Функция имеет на отрезке непрерывную производную . По формуле Ньютона-Лейбница

,

откуда следует формула (25.11). ■

J Пример 25.9. . J

25.7. Теорема о среднем для определённого интеграла

♦ Теорема 25.10. Для непрерывной на отрезке функции существует точка такая, что

. (25.12)

Доказательство. Так как непрерывна, то для неё существует первообразная и по формулам Ньютона-Лейбница и Лагранжа для получаем:

, ,

так как для . ■

[1] Риман Бернхард (1826–1866) – немецкий математик.