Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.
Напомним, что функция называется четной, если для имеет место , и нечетной, если . Отметим важной свойство рассматриваемых функций.
Лемма | Интеграл по отрезку , симметричному относительно начала координат, от нечетной функции равен 0, а от четной функции равен удвоенному значению интеграла от этой функции по отрезку . |
Доказательство:
===
=====.
Если же - нечетная, т.е. , то
===0.
Далее заметим, что производная двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.
Пусть - четная переодическая функция с периодом , удовлетворяет условию Дирихле на отрезке длиной . Вычислим коэффициенты Фурье:
Ряд Фурье: = (разложение по ) |
Пусть теперь - нечетная. Тогда - есть нечетная, - четная. Вычислим коэффициенты Фурье:
Ряд Фурье: = (разложение по ). |
Пример Разложить в ряд Фурье функцию , .
Решение:
Т.к. данная функция – нечетная, то ,
=
==
Ответ. .