О семействе методов Рунге-Кутты. Методы второго порядка

Недостатком методов более высоких порядков, основанных на пошаговом представлении решения у(х) задачи (22.1)-(22.2) по формуле Тейлора и последовательном дифференцировании уравнения (22.1) для получения тейлоровых коэффициентов, является необходимость вычисления на каждом шаге частных производных функции f(х, у).

Идея построения явных методов Рунге-Кутты р-ro порядка заключается в получении приближений к значениям по формуле вида

(22.12)

где j(х, у, h) — некоторая функция, приближающая отрезок ряда Тейлора до р-гo порядка и не содержащая частных производных функции f(x, у).

Так, полагая в (22.12) j(х, у, h) = f(x, у), приходим к методу Эйлера (22.5), т.е. метод Эйлера можно считать простейшим примером методов Рунге-Кутты, соответствующим случаю р = 1.

Для построения методов Рунге—Кутты порядка, выше первого, функцию j(х, у, h) берут многопараметрической и подбирают ее параметры сравнением выражения (22.12) с многочленом Тейлора для у(х) соответствующей желаемому порядку степени.

Рассмотрим случай р = 2. Возьмем функцию j в (22.12) следующей структуры:

Ее параметры с₁, с₂, а и b будем подбирать так, чтобы записанная, согласно (22.12), формула

(22.13)

определяла метод второго порядка, т.е. чтобы максимальная локальная ошибка составляла величину O(h³).

Разложим функцию двух переменных f(x + ah, y + bhf(x, у)) по формуле Тейлора, ограничиваясь линейными членами:

Ее подстановка в (22.13) дает

Сравнение последнего выражения с тейлоровским квадратичным представлением решения у(х):

с точностью до O(h³) от параметров нужно потребовать выполнение следующей совокупности условий:

(22.14)

Полученная система условий содержит три уравнения относительно четырех параметров метода. Это говорит о наличии одного свободного параметра. Положим с₂ =a (¹ 0). Тогда из (22.14) имеем:

В результате подстановки этих значений параметров в формулу (22.13) приходим к однопараметрическому семейству методов Рунге—Кутты второго порядка.

(22.15)

Выделим из семейства методов (7.30) два наиболее простых и естественных частных случая:

при а = 1/2 получаем формулу

которая называют методом Хойна;

при a = 1 из (7.30) выводим новый простой метод

который назовем методом средней точки.