Несколько простых модификаций метода Эйлера

Разовьем последний из подходов к построению метода Эйлера. Очевидно, применение к интегральному равенству (22.9) других простейших квадратурных формул будет порождать новые методы численного интегрирования задачи Коши (22.1) - (22.2).

Так, если в (22.9) использовать простейшую квадратурную формулу правых прямоугольников, придем к методу

(22.10)

Этот метод называют неявным (или обратным) методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное. Имеет ли свою сферу применения подобный метод, порядок которого такой же, как и у явного метода Эйлера (22.5) (первый), и один шаг вычислений по которому столь трудоемок? Положительный ответ на этот вопрос будет дан позже.

Применение к интегралу в (22.9) простейшей квадратурной формулы трапеций приводит тоже к неявному методу

(22.11)

который будем называть методом трапеций. Квадратурная формула трапеций, как известно (лекция 21), на порядок точнее формул левых и правых прямоугольников. Отсюда вытекает более высокий (на единицу) порядок точности метода трапеций (22.11) по сравнению с явным и с неявным методами Эйлера (22.5) и (22.10), т.е. метод трапеций (22.11) — это метод второго порядка.