Метод Эйлера — разные подходы к построению
Лекция 22. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Учитывая ключевую позицию, которую занимает метод Эйлера в теории численных методов ОДУ, рассмотрим несколько способов его вывода. При этом будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом 
расчетными точками (узлами) служат точки хi = х0 + ih (i = 0,1,.,., n) промежутка [х0, b] и целью является построение таблицы
| x | x0 | x1 | … | xn=b | |
| y | y0 | y1 | … | yn=y(b) |
приближенных значений yi решения у = у(х) задачи
(22.1)
y(x0) = y0 (22.2)
в расчетных точках xi.
Геометрический способ.Пользуясь тем, что в точке x0 известно и значение решения y(x0) = y0 (согласно (22.2)), и значение его производной 
(согласно (22.1)), можно записать уравнение касательной к графику искомой функции у = у(х) в точке (х0;у0):
(22.3)
При достаточно малом шаге h ордината
(22.4)
этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (22.3) значения х1 = х0 + h по теореме о непрерывной зависимости решений от начальных данных должна мало отличаться от y(x1) ординаты решения y(x) задачи (22.1)-(22.2). Следовательно, точка (x1,y1) может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую
которая уже приближенно отражает поведение касательной к решению у = у(х) в точке. Подставляя сюда + h), получим приближение значения у(x2) значением
и т.д. В итоге этого процесса, определяемого формулой
(22.5)
и называемого методом Эйлера, график решения у = у(х) данной задачи Коши (22.1) – (22.2) приближенно представляется ломаной, составленной из отрезков приближенных касательных, откуда происходит другое название метода (22.5) —метод ломаных.
Применение формулы Тейлора.Описываемый здесь способ вывода метода Эйлера тесно связан с предыдущим. Линеаризуя решение в окрестности начальной точки по формуле Тейлора, имеем
Отсюда при x = x1 получаем
Сравнивая это равенство с формулой (22.4), видим, что ее остаточный член имеет вид
(22.6)
где x — некоторая точка интервала (x0, х1).
Остаточный член (22.6) характеризует локальную (или, иначе, шаговую) ошибку метода Эйлера, т.е. ошибку, совершаемую на одном шаге. Очевидно, что от шага к шагу, т.е. при многократном применении формулы (22.5), возможно накопление ошибок. За п шагов, т.е. в точке b, образуется глобальная ошибка изучение такой ошибки будет проведено позже. Сейчас же анонсируем один важный хотя бы для терминологии факт: порядок глобальной ошибки (относительно шага h) на единицу ниже, чем порядок локальной ошибки, а порядком глобальной ошибки и определяется порядок соответствующего численного процесса решения задачи Коши. Таким образом, локальная ошибка метода Эйлера, согласно (22.6), есть O(h2), глобальная — O(h), т.е. метод Эйлера относится к методам первого порядка.
Квадратурный способ. Начальную задачу для ОДУ (22.1)-(22.2) можно заменить эквивалентным интегральным уравнением
(22.7)
При x = x1 из него получится равенство
(22.8)
Применение к интегралу в правой части равенства простейшей (одноточечной) формулы левых прямоугольников дает приближенную формулу
правая часть которой, очевидно, совпадает с выражением (22.4) для подсчета значения y1. Для получения формулы (22.5) следует применить метод левых прямоугольников к интегралу
(22.9)
которая получается из формулы (22.8) заменой точки (x0, y0) точкой (xi, yi), а точки (x1, y1) точкой (xi+1, yi+1).