Інтегрування зображення

Диференціювання зображення

Теорема: Якщо , то , тобто множення оригіналу на веде до диференціювання зображення.

Доведення

Нехай

Диференціювання останнього інтеграла за параметром р дає

Отже:

(6.5.1)

Зокрема, поклавши в цій формулі і використовуючи знаходиться зображення степеневої функції

отже

(6.5.2)

Ураховуючи, що на підставі теореми зсуву маємо:

(6.5.3)

Приклад 1. Знайти зображення оригіналу

Розв¢язання

Застосовуючи формули (5.5.3) і (5.5.2), а також властивість лінійності, одержуємо:

Відповідь:

Приклад 2. Знайти зображення оригіналу

Розв¢язання

Відомо, що .

Отже,

Відповідь:

Теорема: Якщо і – оригінал, то

тобто ділення оригіналу на аргумент веде до інтегрування зображення.

Доведення

Позначимо . Нехай Внаслідок того, що , за теоремою диференціювання зображення . Далі за теоремою єдності , звідки де

Довільна стала С визначається за умовою , а саме:

або

Отже:

тобто:

(6.6.1)

Приклад 1. Знайти зображення оригіналу

Розв¢язання

Внаслідок того, що застосовуючи формулу (5.6.1), маємо

Приклад 2. Знайти зображення оригіналу

Розв¢язання

Відомо, що тому

Відповідь:

або