Інтегрування зображення
Диференціювання зображення
Теорема: Якщо , то , тобто множення оригіналу на веде до диференціювання зображення.
Доведення
Нехай
Диференціювання останнього інтеграла за параметром р дає
Отже:
(6.5.1)
Зокрема, поклавши в цій формулі і використовуючи знаходиться зображення степеневої функції
отже
(6.5.2)
Ураховуючи, що на підставі теореми зсуву маємо:
(6.5.3)
Приклад 1. Знайти зображення оригіналу
Розв¢язання
Застосовуючи формули (5.5.3) і (5.5.2), а також властивість лінійності, одержуємо:
Відповідь:
Приклад 2. Знайти зображення оригіналу
Розв¢язання
Відомо, що .
Отже,
Відповідь:
Теорема: Якщо і – оригінал, то
тобто ділення оригіналу на аргумент веде до інтегрування зображення.
Доведення
Позначимо . Нехай Внаслідок того, що , за теоремою диференціювання зображення . Далі за теоремою єдності , звідки де
Довільна стала С визначається за умовою , а саме:
або
Отже:
тобто:
(6.6.1)
Приклад 1. Знайти зображення оригіналу
Розв¢язання
Внаслідок того, що застосовуючи формулу (5.6.1), маємо
Приклад 2. Знайти зображення оригіналу
Розв¢язання
Відомо, що тому
Відповідь:
або