Властивість лінійності зображення
Теорема подібності
Вплив на зображення зміни масштабу осі
, на якій визначений оригінал
, розкривається наступною теоремою:
Теорема: Якщо (додатне число) і
, то
, тобто множення аргументу оригіналу на додатне число
приводить до ділення зображення і його аргументу на це число.
Доведення
Нехай , де
, – оригінал. Тоді
. Заміна змінної в інтегралі
, отже,
, при
, а при
, дає
(6.1.1)
Приклад 1. З формули на підставі теореми подібності маємо:
Приклад 2. З формули на підставі теореми подібності маємо:
Або другим шляхом:
Теорема: Зображення суми декількох оригіналів, помножених на сталі величини дорівнює сумі зображень цих оригіналів, помножених на відповідні сталі, тобто, якщо
(6.2.1)
де – сталі і
, то
(6.2.2)
Доведення
Множення всіх членів рівності (5.1) на та інтегрування отриманої рівності в межах від 0 до
дає:
Приклад 1. Знайти зображення за Лапласом функції
Розв¢язання
На підставі формул і властивості лінійності зображення маємо:
Приклад 2. Знайти оригінал (початкову функцію), зображення якої виражається формулою
Розв¢язання
На підставі властивості лінійності зображення виходить
З теореми єдності зображення випливає, що це єдина початкова функція (оригінал), що відповідає даній функції