Теорема єдності зображення

Надалі показується, що зміст введення зображень виду (3.1) полягає в тім, що з їхньою допомогою вдається спростити розв¢язання багатьох задач. Зокрема, наприклад, звести розв¢язання системи диференціальних рівнянь до проведення найпростіших алгебраїчних операцій при визначенні зображень шуканих розв¢язків. Знаючи ж зображення шуканого розв¢язку, можна знайти оригінал за заздалегідь заготовленими таблицями «оригінал-зображення» або за допомогою розглянутих у даній розробці методів. Але при цьому виникають слідуючи запитання.

Нехай задано деяку функцію .

а) чи існує функція-оригінал , для якої є зображенням?

б) якщо існує, то чи єдина функція-оригінал?

На обидва ці питання при зазначених обмеженнях відносно і дається позитивна відповідь.

Зокрема єдність зображення стверджується наступною теоремою:

Теорема. Якщо дві неперервні функції і мають одне і теж - зображення , то ці функції тотожно рівні ( º ).

Ця теорема в операційному численні має фундаментальне значення. Дійсно, якщо при розв¢язанні практичної задачі якимось чином визначається зображення шуканої функції , а потім за відомим зображенням знаходиться початкова функція-оригінал , то сформульована теорема стверджує, що знайдена функція є розв¢язком поставленої задачі і притому єдиним, тобто інших розв¢язків не існує.