Межа послідовності комплексних чисел
Послідовністю комплексних чисел називається перенумерована нескінченна множина комплексних чисел.
Надалі послідовність комплексних чисел ми будемо позначати символом . Комплексні числа
, що утворять послідовність
, називаються її елементами.
Число z називається межею послідовності , якщо для будь-якого позитивного числа
можна вказати такий номер
, починаючи з якого всі елементи
цієї послідовності задовольняють нерівності
Послідовність , що має межу z, називається збіжною до числа z, що записується у вигляді
.
Для геометричної інтерпретації граничного переходу в комплексній області зручним виявляється поняття околиці крапки комплексної площини.
Множина точок z комплексної площини, що лежать усередині окружності радіуса із центром у крапці
), називається
- околицею точки
.
Із цього визначення треба, що крапка z є межею збіжної послідовності , якщо в кожній
- околиці крапки z лежать всі елементи цієї послідовності, починаючи з деякого номера, що залежить від
.
Оскільки кожне комплексне число характеризується парою дійсних чисел
, то послідовності комплексних чисел
відповідають дві послідовності дійсних чисел
й
, складені відповідно з дійсних і мнимих частин елементів
послідовності
.
Має місце наступне твердження.
Теорема. Необхідною й достатньою умовою збіжності послідовності є збіжність послідовностей дійсних чисел
й
.
Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке позитивне число М, що для всіх елементів
цієї послідовності має місце нерівність
.
Основна властивість обмеженої послідовності характеризує наступна теорема.
Теорема.Із усякої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.
При дослідженні збіжності послідовності в багатьох випадках зручним виявляється необхідна й достатня ознака збіжності послідовності, відомий за назвою критерію Коші.
Критерій Коші. Послідовність сходиться тоді й тільки тоді, коли для будь-якого
> 0 можна вказати таке N(
), що
при
й для будь-якого номера
.