Активная, реактивная, полная мощность

Мгновенная мощность цепи с RL и С элементами

В общем случае мгновенная мощность определяется произведением тока на напряжение:

. (4.1)

Определим мгновенную мощность для цепи с последовательно включенными RL и С элементами (рис.3.1). Пусть в этой цепи протекает ток

. (4.2)

Он одинаков для всех элементов цепи.

Напряжение цепи определяется суммой падений напряжений на отдельных элементах

. (4.3)

С учетом выражений (1.8) и (1.11) перепишем (4.3):

. (4.4)

Подставляя в (4.4) выражение для i(t) и, решая его, получим

. (4.5)

Теперь, подставляя (4.2) и (4.5) в (4.1) находим выражение для мгновенной мощности цепи рис. 3.1:

. (4.6)

Выражение (4.6) показывает, что мгновенная мощность цепи определяется суммой слагаемых мощностей каждого из элементов. Это требует более детального анализа (4.6).

Для анализа (4.6) применим известные из курса тригонометрии формулы преобразования:

.

Применяя их к (4.6) получим:

, (4.7)

где I - действующее значение тока, причем .

Первые два слагаемые в (4.7) определяют мгновенную мощность, выделяемую на элементе R. Можно записать, что

(4.8)

Как видно из (4.8) мгновенная мощность p_R(t) содержит постоянную составляющую Р = RI² и переменную, меняющуюся с удвоенной частотой. График р_R(t) приведен на рис. 4.1. График наглядно показывает, что мощность р_R(t) всегда положительна и изменяется от 0 ( в момент t=0, k×T/2) до 2RI² ( в моменты (2k-1)× T/4), Т=2p/w - период тока.

Среднее за период значение мощности обозначают Р и называют активной мощностью, причем

(4.9)

Для более детального анализа мгновенной мощности Р_R(t) обратимся к выражению (4.5),. Этому выражению соответствует векторная диаграмма рис.4.2. В ней в качестве исходного принят вектор тока . Вектор напряжения на индуктивности опережает ток, а на емкости отстает от тока на 90^о. Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током.

Проведем сложение векторов. Для этого начало вектора переместим в точку конца вектора , а начало вектора - в точку конца вектора . Результатом сложения является вектор выходящий из начала вектора в конец вектора . Угол j определяет сдвиг фаз между током и результирующим напряжением, т.е.

Соединим точки концов двух векторов - и . Обозначим вновь полученный вектор . Образовавшийся треугольник из векторов называют треугольником напряжений. Для него справедливы следующие выражения:

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

Возвратимся вновь к анализу мгновенной мощности, выделяемой на элементе R - p_R(t). С учетом (4.10) перепишем (4.8) в виде

(4.14)

Первое слагаемое в правой части полностью соответствует (4.9) т.е. определяет активную мощность

[Вт] (4.15)

Выражение (4.15) используется в практике намного чаще так как определяет зависимость активной мощности от сдвига фаз между действующими значениями тока и напряжения цепи. В силу этого коэффициент cos j называют коэффициентом мощности и обозначают l

(4.16)

Обратимся к исходному выражению для мгновенной мощности цепи - (4.7). В нем третье и четвертое слагаемое определяют мощность, выделяемую на реактивных элементах - индуктивности

(4.17)

и емкости

(4.18)

Каждое из этих слагаемых изменяются с удвоенной (относительно тока) частотой, но имеют противоположные фазы (рис.4.3). Так как постоянная составляющая в (4.17) и (4.18) отсутствуют, то среднее значение каждого из них равна нулю. Однако сумма p_L(t) и p_C(t) отлична от нуля и определяет мгновенную мощность реактивных элементов (участков) цепи. Определим ее:

(4.19)