Степенные ряды.

Опр.	Функциональный ряд вида (1) где постоянные числа называются степенным рядом, а числа - коэффициентами этого ряда.

В частном случае степенной ряд (1) принимает более простой вид

(2)

Степенной ряд (2) сходится в точке т.к. сумма ряда равна . Для выявления же области сходимости ряда и её характерной особенности, докажем теорему Абеля:

Теорема Абеля

Если степенной ряд (2) сходится при некотором значении аргумента , то он абсолютно сходится при любом значении , удовлетворяющем условию . Если же при некотором значении , ряд (2) расходится, то он расходится и при любом , для которого .

Доказательство:

1)Пусть при ряд (2) сходится:

(3)

общий член этого ряда . Ч.п. - сходится она ограничена, т.е. число , что все члены ряда (3) по абсолютной величине не превосходят числа :

.

Перепишем ряд (2) в виде:

(4)

и построим ряд из абсолютных величин его членов:

(5)

а также запишем ряд вида:

(6)

Для доказательства первой части теоремы, предположив сходимость ряда (2) в т. , требуется показать, что этот ряд будет сходится для : .

Ряд (6) сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем . Тогда ряд (5) сходится по признаку сходимости, т.к. члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда (6). Но тогда по достаточному приз0наку сходимости знакопеременного ряда сходится ряд (4) или, что то же самое, ряд (2), причем абсолютно.

2)Пусть в некоторой точке ряд (2) расходится. Предположим противное, что ряд (2) сходится в любой точке : . Тогда по первой части теоремы ряд (2) должен сходится в точке , что против условия при : , ряд (2) расходится.